Wahrscheinlichkeit für mind. zwei gerade Zahlen in 5-Würfen

29.01.2018, 15:46

Binoko

Wahrscheinlichkeit für mind. zwei gerade Zahlen in 5-Würfen

Meine Frage:
Hallo.
Meine Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es mindestens zwei gerade Zahlen wenn gleichzeitig mit 5-Würfeln gewürfelt wird.

Meine Ideen:
Soweit ich weiß ist es ja einfacher das ganze mit der Gegenwahrscheinlichkeit anzugehen.
Also P(Mindestens zwei gerade Zahlen) = 1 - P(Höchstens eine gerade Zahl).Die Formel von Laplace sagt ja dass man, um an eine Wahrscheinlichkeit zu kommen, die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilen soll.
Die möglichen Ergebnisse sind klar: 6^5.

Was sind also die günstigen Ergebnisse?

Ich versuch mir das ganze so vorzustellen: Ich habe 5 Slots [][][][][] von welchen einer gerade sein soll und der rest ungerade. Also wähle ich 1 aus 5, was dem Binominalkoeffizient 5C1 entspricht. Pro möglichen Slot können 3 von 6 möglichen Zahlen gerade sein. Also rechne ich: ((5C1)*3) / 6^5 = 5/2592. 1-5/2592 = 2587/2592 = 0,998.
Das richtige Ergebnis der Aufgabe ist mir gegeben und ist 0,87.

Ich liege mit meinem Ansatz offentsichtlich falsch. Wie gehe ich an diese Aufgabe ran? Und wie würde sich die Aufgabe ändern wenn es mind. k-gerade Zahlen in N-Würfeln sind?

29.01.2018, 15:54

HAL 9000

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Du kannst das ganze natürlich gern auf rein kombinatorischer Ebene abhandeln. Sollte dir jedoch bereits die Binomialverteilung bekannt sein, dann nimm doch die:

Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der geraden Augenzahlen unter $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfelwürfen ist binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B\left(n,\frac{3}{6}\right) = B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , und gesucht ist hier $\begin{eqnarray*} P(X\geq 2) = 1-P(X\leq 1) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Binoko
Ich habe 5 Slots [][][][][] von welchen einer gerade sein soll und der rest ungerade. Also wähle ich 1 aus 5, was dem Binominalkoeffizient 5C1 entspricht. Pro möglichen Slot können 3 von 6 möglichen Zahlen gerade sein. Also rechne ich: ((5C1)*3) / 6^5 = 5/2592. 1-5/2592 = 2587/2592 = 0,998.

Kardinalfahler in der Rechnung ist, dass du die Auswahlmöglichkeiten der ungeraden Zahlen in den vier anderen Slots gänzlich ignorierst. Dort gibt es auch jeweils 3 Möglichkeiten pro Slot zu beachten...

29.01.2018, 17:07

Binoko

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Hallo HAL 9000,
danke für deine Hilfe.

Zu deiner Antwort: Am liebsten wäre es mir kombinatorisch und mit der Binomialverteilung zu können.

Ich versuche es nun als erstes mit der Binomialverteilung:
$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich richtig recherchiert habe gilt folgendes:
$\begin{eqnarray*} 1 - P(X \leq 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \end{eqnarray*}$
Die Formel ist $\begin{eqnarray*} P(X=k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * p^{k}*(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$
In meinem Beispiel also: $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix} * (\frac{1}{2} )^{0}*(1-(\frac{1}{2} ))^{5-0} = \frac{31}{32} ) \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} * (\frac{1}{2} )^{1}*(1-(\frac{1}{2} ))^{5-1} = \frac{75}{32}) \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} 1- ( \frac{31}{32} + \frac{75}{32} ) = -\frac{37}{16} \end{eqnarray*}$ . Erscheint mir auch nicht ganz richtig.

Für den kombinatorischen Ansatz:
Rechne ich dann $\begin{eqnarray*} 1- ( \frac{ \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} * 3 * 3^4}{6^{5} }) \end{eqnarray*}$ = 0,84375? Fast das Ergebnis, aber nicht ganz? Das richtige Ergebnis ist als $\begin{eqnarray*} \frac{13}{15} \end{eqnarray*}$ also 0.87 gegeben.

29.01.2018, 17:10

Binoko

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*Berichtigung: Dort soll natürlich $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^{5-0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^{5-1} \end{eqnarray*}$ stehen. War ein Fehler im Latex

29.01.2018, 17:11

HAL 9000

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Was rechnest du denn hier für einen Sch...ss zusammen? Richtig ist

$\begin{eqnarray*} 1-\left( \binom{5}{0}+\binom{5}{1} \right) \frac{1}{2^5} = \frac{13}{16} = 0.8125 \end{eqnarray*}$ .

29.01.2018, 17:29

Binoko

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Danke für deine Antwort.

Ich habe leider nich Probleme deine Rechnung zu verstehen. Ist dies eine bestimmte Formel die du benutzt?
Meine obige Rechnung habe ich nach der Formel "Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung" berechnet welche in Internet auf diversen Seiten steht und auch in meinem Script.
In meinem Script steht diese Formel genauso. $\begin{eqnarray*} P(X=k) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * p^{k}*(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

29.01.2018, 22:31

HAL 9000

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Die Formel ist richtig, aber das Einsetzen scheint ja bei dir massiv verunglückt zu sein, wenn du da sogar negative Wahrscheinlichkeitswerte rausbekommst - das ist bei korrekter Rechnung unmöglich. unglücklich

Ein anderer möglicher Grund ist Taschenrechnerfehlbedienung, mutmaßlich durch fehlende oder falsch platzierte Klammern.

31.01.2018, 11:55

Binoko

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Taschenrechnerfehlbedienung. Hammer

Vielen Dank für deine Hilfe.
Nach 10 Stunden Mathe war die konzentration einfach weg, da ist mir ein Klammerfehler passiert.

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