Summenidentität

Neue Frage »

Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »
Summenidentität
Hallo Forum!

Ich versuche schon eine ganze Weile folgende Identität zu beweisen:



für , wobei die die -te harmonische Zahl ist.

Ich habe es mit Induktion über versucht, ich verwende und forme die Binomialkoeffizienten so um, dass dasteht was man will. Nur entstehen dabei andere Terme, die ich nicht loswerde^^ Hat jemand einen Tipp? Es muss auch kein Induktionsbeweis sein..
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summenidentität
Multipliziere rüber und setze die Definition von ein. Nach einem Indexshift und der Symmetrie für generische sollte es dastehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kegorus
Ich habe es mit Induktion über versucht

Funktioniert doch recht gut! Im Induktionsschritt wendet man (wie so oft bei solchen Beweisen) die Pascalidentität



an und kommt damit nahezu geradlinig zum Ziel.


EDIT: Hmm, wohl etwas lange gebraucht. Immerhin klingen die Wege verschieden. Augenzwinkern
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch! Die Pascalidentität habe ich eh verwendet, dadurch kann man auf die eine Summe die Induktionsvoraussetzung anwenden. Aber auf die andere ja nicht?

Der Schritt :



Was mach ich hier mit der Summe? Es gilt Damit hat man den Binomialkoeffizienten aus der Induktionsvoraussetzung, aber dafür einen Faktor dabei, der von k abhängig ist, also kann man ihn nicht aus der Summe rausziehen und somit die IV nicht anwenden.
Bist du's anders angegangen HAL9000?
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

So wie IfindU es gemeint hat krieg ich's auch nicht hin. Man hat links eine Summe bis , rechts gehen sie bis und , oder man fasst die beiden Summen rechts zu einer zusammen. Aber auf der linken Seite hat man ja einen ganz anderen Binomialkoeffizienten, wo auch noch drin vorkommt, ich seh grad nicht wie das dann das selbe ist..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kegorus



Jetzt noch nutzen, und man ist durch.
 
 
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend Dank! Ich hab nicht gesehen, dass der Summand für Null ist und man den Einser im Binomialkoeffizienten ja zu gehörig, statt zu denken kann und somit die Induktionsvoraussetzung erfüllt ist! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so ungefähr.

Den Induktionschritt korrekt ausgeführt kann man allerdings nur für so vorgehen. Die Sonderfälle und muss man also extra behandeln, aber das ist leicht getan.
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja stimmt, da hat man dann für und für .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde doch mal noch der Weg von IfindU interessieren. Sieht ja dem Entwurf nach deutlich kürzer aus, aber ich kann es ehrlich gesagt nicht nachvollziehen, wie das nach Indexshift und Ausnutzen der Symmetrie sofort dastehen soll. verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mich auch! Ich hatte wohl einen/mehreren Denkfehler, denn es kommt nicht das heraus.

Ich wollte
.
Mit der Symmetrie dann
. Und da dachte ich dann ich kann es dann zu zum Endergebnis zusammenfassen.

Entschuldigt die Verwirrung!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich erleichtert: Dass die Gleichheit nämlich nicht auf Einzelsummandenniveau besteht, habe ich mir vom CAS an einem exemplarischen Beispiel listen lassen, daher war ich etwas erstaunt, wie das sonst so schnell gehen kann.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen