Dichte/Verteilungsfunktion

29.01.2018, 17:41

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Dichte/Verteilungsfunktion

Meine Frage:
[attach]46419[/attach]

Meine Ideen:
X reellwertig,positiv
Verteilung bzgl. Lebesgue Maßes sprich P_{X} [a,b]= b-a
(Eine Frage, wenn das Lebesgue Maß gemeint ist, ist dann damit die Gleichverteilung auf diesem Intervall gemeint ?)

Also dann ist die Verteilungsfkt von X gegeben durch
$\begin{eqnarray*} F_{X}(z) = \begin{cases} 1 & \text{ } z\geq b \\ 0 & \text{ } z< a \\ \frac{z-a}{b-a} & \text{ } z \in \left [a ,b \right ) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es gilt
$\begin{eqnarray*} P[Y\leq z] = P[\sqrt{X} \leq z] = P [X\leq z^2 ] = \begin{cases} 1 & \text{ } z^2\geq b \\ \\ \frac{z^2}{b} & \text{ } z^2 \in \left [0 ,b \right ) \end{cases} \end{eqnarray*}$
weil X nur für > 0 definiert ist

dann als Dichte
$\begin{eqnarray*} \begin{cases} 0 & \text{ } z^2\geq b \\ \\ \frac{2z}{b} & \text{ } z^2 \in \left [0 ,b \right ) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so ?

29.01.2018, 18:17

SHigh

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RE: Dichte/Verteilungsfunktion

Zitat:

Eine Frage, wenn das Lebesgue Maß gemeint ist, ist dann damit die Gleichverteilung auf diesem Intervall gemeint ?

Nein, das ist damit nicht gemeint.

Es geht hier vielmehr um die Existenz einer Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzgl. des Lebesguemaßes. Es gilt also für alle $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal B(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\in A)=\int_A f(x)\, \mathrm d\lambda (x) = \int_A f(x)\, \mathrm dx \end{eqnarray*}$ .

Oft wird einfach davon ausgegangen, dass eine $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Dichte existiert. Das ist jedoch falsch, betrachte zum Beispiel die Cantor-Verteilung.

Dein Ansatz

$\begin{eqnarray*} P(Y\leq z) = P(\sqrt X\leq z) = P(X\leq z^2) \end{eqnarray*}$

sieht aber ganz gut aus. Allerdings muss man hier genauer sein. Woher kommt das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

29.01.2018, 18:21

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RE: Dichte/Verteilungsfunktion
OK nein Quatsch...Von Gleichverteilung ist hier nicht die Rede, ich glaub ich habs jetzt..

$\begin{eqnarray*} P[X\leq y] = \int_{0}^{y} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ wobei f die Dichtefunktion von X

nun gilt

$\begin{eqnarray*} P[Y\leq z] = P [\sqrt{X}\leq Z] = P[x\leq z^2] = \int_{0}^{z^2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

und wars das dann schon ? Aber dann hätte ja Y im Prinzip die selbe Dichte nur dass die Grenzen unterschiedlich sind..

29.01.2018, 18:25

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RE: Dichte/Verteilungsfunktion

Zitat:

Original von SHigh
Woher kommt das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ?

Das z müsste aus einem Intervall kommen verwirrt

29.01.2018, 18:44

SHigh

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RE: Dichte/Verteilungsfunktion
Wie gesagt, bei solchen Aufgaben sollte man schon ganz genau sein, denn nur darum geht es:

Es sei $\begin{eqnarray*} X:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Lebesgue-Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z)=0 \end{eqnarray*}$ für alle z $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt

$\begin{eqnarray*} P(X\leq z)=0,\quad z\leq 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} P(X\leq z) = \int_0^z f(x)\,\mathrm dx, \quad z > 0 \end{eqnarray*}$ .

Was folgt somit für $\begin{eqnarray*} P(Y\leq t) \end{eqnarray*}$ für die beiden Fälle

1) $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Später ist man nicht mehr so ausführlich, manche Dinge werden dann einfach als trivial vorausgesetzt oder gehen aus den Kontext hervor und werden nicht mehr extra erwähnt, allerdings sollte man sich das ganze wenigstens einmal klar machen.

29.01.2018, 18:51

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RE: Dichte/Verteilungsfunktion
Danke !

da wir
P[Y\leq t] = P[\sqrt{X} \leq t ] = P [ X \leq t^2]

erhalten würde doch gelten ( da t^2 nicht negativ werden kann ) dass es egal ist ob t kleiner gleich 0 oder größer

dann wie ich schon oben das Integral gebildet hab..oder ?

29.01.2018, 18:53

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RE: Dichte/Verteilungsfunktion
Edit.

Danke !

da wir
$\begin{eqnarray*} P[Y\leq t] = P[\sqrt{X} \leq t ] = P [ X \leq t^2] \end{eqnarray*}$

erhalten würde doch gelten ( da t^2 nicht negativ werden kann ) dass es egal ist ob t kleiner gleich 0 oder größer

dann wie ich schon oben das Integral gebildet hab..oder ?

29.01.2018, 18:54

sibelius84

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Das Wichtige ist, deinen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} P[Y\leq z] \end{eqnarray*}$ nun noch nach z abzuleiten:
https://de.wikipedia.org/wiki/Parameteri...meterintegrale,

oder einfach als F(z²) schreiben und die Kettenregel anwenden, das geht natürlich auch.

29.01.2018, 19:02

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P[Y <= z ] = F(z^2)

das abgeleitet wäre :

2z f(z) so ?

29.01.2018, 19:08

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sorry ich meinte f(z^2)* 2z

29.01.2018, 22:28

HAL 9000

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Vorsichtig formuliert würde man in etwa so vorgehen:

Für alle $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} F_Y(z) = P(Y\leq z) = P(\sqrt{X}\leq z) = P(X\leq z^2) = F_X(z^2) \end{eqnarray*}$ .

Nun ist die Ableitung der Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße fast überall gleich der Dichte dieser Zufallsgrößen, somit ist

$\begin{eqnarray*} f_Y(z) = F_Y'(z) = \frac{\dd}{\dd z} F_X(z^2) = F_X'(z^2)\cdot 2z = 2zf_X(z^2) \end{eqnarray*}$ ,

gültig ebenfalls für fast alle $\begin{eqnarray*} z\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das "fast überall" bzw. "fast alle" erweist sich bereits bei sehr einfachen stetigen Verteilungen als nötig, man denke nur mal an die stetige Gleichverteilung auf [0,1] und die "Knickpunkte" von deren Verteilungsfunktion an den Intervallrandstellen 0 und 1. Augenzwinkern

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