Nachfrage zu Umformung von Ungleichungen

30.01.2018, 13:36

Snexx_Math

Nachfrage zu Umformung von Ungleichungen

Hallo zusammen,

folgende Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} n,l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Ich weiß , dass $\begin{eqnarray*} n \neq 3 \cdot l \end{eqnarray*}$ folgt dann auch , wenn ich beide seiten $\begin{eqnarray*} \cdot n \end{eqnarray*}$ nehme, dass $\begin{eqnarray*} n^{2} \neq 3 \cdot l \cdot n \end{eqnarray*}$ ???

LG

30.01.2018, 13:38

HAL 9000

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Sofern $\begin{eqnarray*} n\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist: Ja.

30.01.2018, 13:59

Snexx_Math

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Also es geht konkret um den Beweis von Teilbarkeit für:

$\begin{eqnarray*} 3 \mid n^{2} \Rightarrow 3\mid n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

und dann habe ich die Kontraposition gezeigt:

$\begin{eqnarray*} 3 \nmid n \Rightarrow 3\nmid n^{2} \end{eqnarray*}$

Also ex. kein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} 3 \cdot k = n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \forall k \in\mathbb N : 3 \cdot k \neq n \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} \cdot n \end{eqnarray*}$ wie oben beschrieben würde liefern, dass

$\begin{eqnarray*} n^{2}\neq 3 \cdot k \cdot n \end{eqnarray*}$ und offentsichtlich ist $\begin{eqnarray*} (k \cdot n) =: l \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Daraus folgt dann ja: $\begin{eqnarray*} \nexists l \in \mathbb N : 3\cdot l =n^{2} \end{eqnarray*}$

30.01.2018, 14:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Daraus folgt dann ja: $\begin{eqnarray*} \nexists l \in \mathbb N : 3\cdot l =n^{2} \end{eqnarray*}$

Wieso soll das folgen? Gemäß deinem Beweisverlauf hast du nur nachgewiesen, dass es keine $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ der Form $\begin{eqnarray*} l=n\cdot k \end{eqnarray*}$ mit dieser Eigenschaft gibt. unglücklich

30.01.2018, 14:10

Snexx_Math

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und wie zeige ich dann , dass $\begin{eqnarray*} 3\mid n^{2} \Rightarrow 3\mid n \ \ \ , \ \ n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

30.01.2018, 14:11

HAL 9000

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Am einfachsten wäre, wenn du das Lemma von Euklid (eine Vorstufe vom Fundamentalsatz der Arithmetik, und wesentlich einfacher als dieser) verwenden dürftest.

30.01.2018, 14:17

Snexx_Math

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Das ist ja das Euklidsche Lemma : $\begin{eqnarray*} p \mid a\cdot b \Rightarrow p\mid a \vee p\mid b \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Dann ist es echt sehr einfach Hammer

p=3 :

$\begin{eqnarray*} 3 \mid n^{2} = 3 \mid n \cdot n \Rightarrow 3\mid n \vee 3 \mid n \Rightarrow 3 \mid n \end{eqnarray*}$

30.01.2018, 14:25

HAL 9000

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Die Primzahleigenschaft (allgemeiner gesagt eigentlich die Quadratfreiheit) der Zahl 3 ist essentiell für den Beweis. So ist etwa

$\begin{eqnarray*} 4 \mid n^2 \;\Rightarrow\; 4\mid n \end{eqnarray*}$

eine falsche Aussage, ich möchte fast sagen "offensichtlich falsch".

Dein obiger Beweis hingegen wäre wohl bei 4 statt 3 glatt genauso abgelaufen, nur dass die Mogelei im letzten Schritt deutlich sichtbarer aufgeflogen wäre. Augenzwinkern

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