Konvergenz von Reihe

30.01.2018, 17:20

EvD

Konvergenz von Reihe

Hi zusammen...

Vermutlich übersehe ich mal wieder was ganz triviales, komme aber leider nicht drauf.

Ich muss bei einer Aufgabe schauen ob $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty \tfrac{k^k}{(k!)^2} \end{eqnarray*}$ Konvergiert, und wenn ja den Grenzwert angeben ...

Habt ihr da n Schimmer wie ich vorgehen könnte?
habe da gakein Lösungsansatz ... ich könnte daraus $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty k^k* \tfrac{1}{(k!)} * \tfrac{1}{(k!)} \end{eqnarray*}$ machen ... nur bringen tut's mir nischt, weil ich es wegen dem "*" nicht auseinander ziehen kann ... Freude

Bin für eure Hilfe dankbar

Grüße EvD

30.01.2018, 20:47

Mulder

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RE: Konvergenz von Reihe
Wegen Konvergenz würde ich mal das Quotientenkriterium drauf los lassen.

Und den Wert der Reihe sollst du dann ggf. auch berechnen? verwirrt

Da muss ich persönlich passen und verfolge den Thread interessiert weiter. smile

Edit: Ok, wenn sogar HAL keine Antwort darauf parat hat, dann ist meine Neugier vielleicht doch unbegründet. Big Laugh

30.01.2018, 20:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von EvD
und wenn ja den Grenzwert angeben

Auf die Antwort bin ich aber gespannt - ist das wirklich hier gefordert?

P.S.: Ich geh natürlich davon aus, dass es eher um $\begin{eqnarray*} \sum_{{\color{red}k}=0}^{\infty} \frac{k^k}{(k!)^2} \end{eqnarray*}$ geht (wie auch immer $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ dort definiert ist).

31.01.2018, 12:28

EvD

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Huch, jetzt sehe ich es auch... mir ist da ein Fehler unterlaufen geschockt

es ist Natürlich $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=1}^\infty \frac{k^k}{(k!)^2} \end{eqnarray*}$

nicht n=0 oder k=0 ... sorry für den verschreiber ... da schaut man 5 mal über den Text, aber kontrolliert die Reihe nicht Forum Kloppe

Zitat:

wie auch immer $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ dort definiert ist

$\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ müsste doch nach der für ein Körper notwendigen Existenz des Neutralen Element der Multiplikation 1 sein ... nur bei dem $\begin{eqnarray*} (0!)^2 \end{eqnarray*}$ hätte ich da meine Bedenken ...

... Aber das nur am Rande ... kann ja jetzt nicht vorkommen, ist aber trotzdem gut zu wissen smile

Zitat:

Quotientenkriterium drauf los lassen

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(k+1)^{k+1}}{((k+1)!)^2}}{\frac{k^k}{(k!)^2}} = \frac{(k+1)^{k+1}}{k^k}*\frac{(k!)^2}{((k+1)!)^2} = \frac {(k+1)^{k+1}}{k^k}*(k+1)^{-2} = \frac {(k+1)^{k-1}}{k^k} \end{eqnarray*}$

Das ist schön und gut, aber für mich jetzt noch nicht so richtig ersichtlich das es absolut gegen x mit x<1 konvergiert ...

Frage ich Wolfram, gibt der mir was, das ich bestimmt nicht in der Klausur machen will, ansonsten mache ich nur die Aufgabe und sonst nichts xD

31.01.2018, 12:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von EvD
$\begin{eqnarray*} \frac {(k+1)^{k+1}}{k^k}*(k+1)^{-2} = \frac {(k+1)^{k-1}}{k^k} \end{eqnarray*}$

Besser: $\begin{eqnarray*} \frac {(k+1)^{k+1}}{k^k} \cdot (k+1)^{-2} = \frac {(k+1)^k}{k^k} \cdot \frac{1}{k+1} \end{eqnarray*}$
Der Grenzwert für den 1. Bruch sollte dir bekannt sein. Augenzwinkern

31.01.2018, 13:51

EvD

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ja, man sollte nicht einfach Stumpf alles raus kürzen, was nicht bei 5 auf dem Baum ist xD

Damit habe ich dann wohl die Konvergenz durch die Quotientenkriterium bewiesen ... Jetzt nur noch den Grenzwert von dem guten und ich habe die Aufgabe, die mir 2/30 Punkten gibt Gott

31.01.2018, 14:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von EvD
Jetzt nur noch den Grenzwert von dem guten

Hier gab es ja schon dezente Hinweise, daß es vermutlich größere Schwierigkeiten gibt, diesen aus dem Ärmel zu schütteln. Mich würde daher der originale Aufgabentext interessieren, um mal zu schauen, was denn nun wirklich verlangt ist. smile

31.01.2018, 15:41

EvD

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ok, ich muss die Frage wieder zurück ziehen ... ich habe den vermerk nicht gesehen das's bestimmen des Grenzwertes nur für die erste Aufgabe gegolten hat ... und die war einfach xD

Das erklärt doch so einiges smile

Aber danke für eure Hilfe bis dahin smile

31.01.2018, 15:44

HAL 9000

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Ja, so haben wir das erwartet. Aber schön, dass du es bestätigst. Augenzwinkern

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