Fragen zu Kreisteilungskörpern

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30.01.2018, 18:23	Chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Kreisteilungskörpern Meine Frage: Nabend zusammen. Ich überlege gerade wie ich folgende Frage lösen kann: Sei $\begin{eqnarray} \gamma_{25} =exp(\frac{2 \pi i}{25} ) \end{eqnarray}$ , liegt dann $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma_{25}) \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Meine ersten Überlegungen waren einen möglichen Wiederspruch herzuleiten, dazu habe ich betrachtet, dass $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\gamma_{25}) : \mathbb Q] = \phi (25) =20 \end{eqnarray}$ gilt. Wenn ich nun die Erweiterung von Q um $\begin{eqnarray} \alpha = \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ betrachte, ist das Minpol zu Alpha gegeben durch $\begin{eqnarray} f = x^4 -5 \end{eqnarray}$ und somit gilt $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\alpha ): \mathbb Q] =4 \end{eqnarray}$ und da 4 die 20 teilt, habe ich leider nicht den erwünschten Wiederspruch erreicht. Könnte mir jemand vielleicht einen Tipp geben was ich noch prüfen könnte oder ob ich mit meinem Ansatz vielleicht noch andere Möglichkeiten habe, denn ich sehe gerade leider noch keinen einfachen Weg dies zu prüfen... Gruß Chrissi
30.01.2018, 19:39	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zu Kreisteilungskörpern Hallo, ich glaube man kann das über die Zwischenkörper und den gradsatz beweisen. Der Zwischenkörper Q(4.Wurzel aus 5) hat über Q den grad 4, dann bleibt ja für die restliche Erweiterung nur noch grad 5, und denke daran, wie man exp(2pi/25) noch ausdrücken kann... gruss ollie3
31.01.2018, 17:57	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesen Ansatz hatte ich tatsächlich auch schon verfolgt, jedoch kam ich dabei nicht weiter und somit habe ich ihn wieder verworfen... Also ich weiß das $\begin{eqnarray} [\mathbb Q(\gamma_{25} ): \mathbb Q(\sqrt[4]{5} )]=5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} exp(\frac{2 \pi i}{25}) = \cos(\frac{2 \pi }{25}) + i \sin(\frac{2 \pi }{25}) \end{eqnarray}$ gilt, jedoch weiß ich nicht wir mir das hilft Des weiteren fällt mir auch gerade auf, dass ich garnicht genau wüsste wie der Grad dieser Erweiterung zu bestimmen ist. Müsste ich dafür nicht das 25.Kreisteilungs-Minimalpolynom bestimmen um erstmal zu prüfen ob die vierte wurzel aus 5 eine Nullstelle davon ist. Und ich habe das Kreisteilungspolynom jetzt mal im Internet wie folgt gefunden $\begin{eqnarray} f= x^{20} + x^{15} +x^{10} +x^5 +1 \end{eqnarray}$ . Unter der Annahme ich wüsste nun wie man dieses bestimmt und das hier gegebene f ist auch das richtige, würde es dann aussreichen zu sehen das die Exponenten im Polynom alle ungerade sind und unsere Wurzel aber eine "gerade Wurzel" (4.) ist? Oder bin ich auf dem ganz falschen Pfad?
31.01.2018, 18:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Unser heißgeliebter Bachelor hat festgestellt, dass die Galoisgruppe von $\begin{eqnarray} f(X)=X^4-5 \end{eqnarray}$ (irreduzibel) wegen $\begin{eqnarray} D(f)=256=16^2 \end{eqnarray}$ (Quadrat) und $\begin{eqnarray} g(Y)=Y^3-4Y=Y(Y+2)(Y-2) \end{eqnarray}$ (reduzibel) die abelsche Gruppe $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ ist. Nach Kronecker-Weber ist jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe Teilkörper eines Kreisteilungskörpers. Warum das jetzt gerade die 25. Einheitswurzeln sind, weiß ich auch noch nicht, aber es klingt nicht unplausibel. Nachtrag: Wohl dem, der etwas englisch kann. Hier kommt man mittels der 5. Einheitswurzeln schon mal zu $\begin{eqnarray} \sqrt 5 \end{eqnarray}$ : https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker%...93Weber_theorem Ich kann mir gut vorstellen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[4] 5) \end{eqnarray}$ als quadratische Erweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt 5) \end{eqnarray}$ die Galoisgruppe $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ hat. Und die 25. Einheitswurzeln hängen ja auch mit den 5. Einheitswurzeln zusammen, vielleicht hilft das ja weiter.
01.02.2018, 13:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte Hilberts Zahlbericht intensiver studieren sollen: ( https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~fle...er/publ/HZB.pdf ) . Leider habe ich das nur unzureichend getan, dafür gibt es nur Ausreden aber keine Entschuldigung. Es sei den jüngeren MathematikerInnen wärmstens anempfohlen, die alten Meister Hilbert, Hecke, Hensel, Hasse zu studieren (und das sind nur die mit H., die mir auf Anhieb einfallen.) David Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, Erster Band, Zahlentheorie : https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN...%3A%22toc%22%7D
01.02.2018, 17:58	chrissi1993	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp. Aber ohne in deine Links reingeschaut zu haben, bin ich heute mit meinen Kommilitonen auf eine recht einfache und schnelle Lösung gekommen: Wir wissen das das die Körpererweiterung welche durch Adjunktion einer primitiven Einheitswurzel entsteht galoissch ist. (haben wir im Skript bewiesen, findet man aber auch leicht im Internet) Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma_{25} ) / \mathbb Q \end{eqnarray}$ galoissch. Und nun kommt das wichtigste, was ich bisher übersehen hatte, wir haben im Skript auch schon bewiesen, dass dann auch jede Zwischenkörpererweiterung galoissch ist. Nun reicht es einfach zu zeigen das das Min.pol. $\begin{eqnarray} f(X) = X^4 -5 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \alpha = \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ komplexe Nullstellen hat, wodurch folgt das die Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha )/\mathbb Q \end{eqnarray}$ nicht normal ist und somit auch nicht galoissch. Daraus folgt das $\begin{eqnarray} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma_{25} ) \end{eqnarray}$ liegt.
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01.02.2018, 18:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma_{25})/\mathbb Q \end{eqnarray}$ ist galoissch, da Kreiskörper. Also ist $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma_{25})/K \end{eqnarray}$ galoissch für alle Zwischenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q\le K\le \mathbb Q(\gamma_{25}) \end{eqnarray}$ . Soweit kann ich eurer Argumentation folgen. Das heißt aber nicht, dass jeder Zwischenkörper $\begin{eqnarray} K/\mathbb Q \end{eqnarray}$ galoissch ist. Für mich ist noch nicht bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[4]5\notin \mathbb Q(\gamma_{25}) \end{eqnarray}$ Jetzt verstehe ich nicht, wie $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[4]5) \end{eqnarray}$ und der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} X^4-5 \end{eqnarray}$ beide den Grad 4 über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ haben und dennoch verschieden sein können. Oder ist der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray} X^4-5 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \mathbb Q(i\sqrt[4]5)<\mathbb C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[4]5)<\mathbb R \end{eqnarray}$ und damit beide verschieden ?
01.02.2018, 19:35	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also zunächst einmal: chrissie hat recht! Und an Elvis: Zwischenkörper heißt ja, dass er zwischen Q und Q(gamma_25) liegen muss und keine Elemente haben darf, die nicht in Q(gamma_25) sind. Und Q(4.Wurzel aus 5) ist nicht der Zerfällungskoerper von X^4 -5, sondern Q(4.Wurzel aus 5, i), und das hat den Erweiterungsgrad 8. gruss ollie3
01.02.2018, 19:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Wenn das so ist, habe ich mindestens einen Bock geschossen. Ich hoffe, ich habe nicht allzu viel Verwirrung gestiftet. Auf jeden Fall muss ich noch viel lernen ... ich werde mich erst wieder zu solchen Themen äussern, wenn ich mehr davon verstehe ... ca. 2020 - 2025 ? Bis dann. Nachtrag: (Ich kann's nicht lassen.) Ich habe mich verrechnet, denn es ist tatsächlich $\begin{eqnarray} D(f)=D(X^4-5)=256(-5)^3\notin \mathbb (Q^)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(Y)=Y^3+20Y=Y(Y+20)=Y(Y+2\sqrt 5)(Y-2\sqrt 5) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D(g)=-4(20^3)=D(f) \end{eqnarray}$ . Daher ist die Galoisgruppe von $\begin{eqnarray} X^4-5 \end{eqnarray}$ die nichtabelsche Diedergruppe $\begin{eqnarray} D_4 \end{eqnarray}$ der Ordnung 8. (Siegfried Bosch kommt in seinen Beispielen zu Galoisgruppen von Polynomen 4. Grades zum selben Ergebnis.) Kronecker-Weber kann man also für dieses Beispiel vergessen, der nichtabelsche Zerfällungskörper $\begin{eqnarray} \mathbb Q(i,\sqrt[4]5) \end{eqnarray}$ liegt nicht (oder nicht notwendig ?) in einem Kreisteilungskörper. Wie kann man daraus schließen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[4]5 \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\gamma_{25}) \end{eqnarray}$ liegt ? das ist mir noch nicht klar.

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