Grenzwert Betrachtung

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Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Betrachtung
Guten Abend,

ich habe ein allgemeines Verständnis Problem und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt.

In der Physik werden für Funktionen in Abhängigkeit einer Physikalischen Größe oft Annahmen über die Größe der Variable gemacht, um den Ausdruck für die Funktion zu vereinfachen. Zum Beispiel wie verhält sich f für . In den Vorlesungen werden dann oft Taylorentwicklung gemacht. Ich verstehe jedoch nicht, in welchem Punkt die Funktion entwickelt wird und von welcher Variable die Größe abhängen soll.

Könnte mir mal jemand am folgenden Beispiel erklären:

T:=Temperatur



Der Ausdruck soll jetzt für die Fälle , untersucht werden.

MfG
Silencium
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich höre zur Zeit eine Vorlesung, in der oft solche Terme vorkommen wie in deiner Frage; und ich habe das Gefühl, dass da jeder Physiker die Funktion so annähert, wie er gerade Lust hat, solange dann das raus kommt, was er haben will. Augenzwinkern

Was ich machen würde: Nehmen wir z.B. den letzten Term .

Mit der Substitution wird daraus . Falls ist, gilt

(geometrische Reihe).

Und im Fall ist , weswegen Physiker in dieser Summe meist nur die ersten zwei bis drei Summanden mitnehmen und den Rest vernachlässigen Augenzwinkern . Eine mögliche Näherung wäre also

(das ist also das Taylorpolynom ersten Grades von mit Entwicklungspunkt 0).

Wenn man rücksubstituiert, erhält man für .
 
 
Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, das mit dem Reihenansatz ist echt genial smile

Für den Fall erhält man als Näherung:



Ist das korrekt?


Der zweite Fall . Dafür gilt, dass . Dann würde in der geometrischen Reihe ein Ausdruck stehen, der größer gleich 1 ist. Somit würde die Reihe divergieren.

Wie soll man für diesen Fall vorgehen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion kann in nicht in eine Taylorreihe entwickelt werden; die Funktion besitzt dort ja eine Polstelle.

Man kann sie aber in eine Laurentreihe entwickeln:
Dazu nimmst du die Taylorreihe von (stetig in fortgesetzt):

mit den Bernoulli-Zahlen . Die ersten drei Bernoulli Zahlen sind

Wenn man beide Seiten durch dividiert, erhält man die Laurentreihe von :

für .

Mit erhält man daraus eine Näherung für , indem man nur die Summanden bis zur linearen Ordnung berücksichtigt:

.


Ich habe auch schon mal gesehen, dass man nur den ersten Summanden aus dieser Reihe genommen hat (da allerdings mit der Begründung, dass für und damit ).
Das Problem dabei ist, dass der Nenner nah an Null ist und deswegen der (absolute) Fehler sehr groß werden kann; hier ist (das ist genau der zweite Summand in der Näherung oben):




Zum Vergleich :

Silencium92 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich kann das nicht ganz nachvollziehen.

Für (die Darstellung davor war nicht ganz korrekt)

erhält man mit deiner Herleitung

Zitat:
für .


doch für

Ist diese Näherung korrekt? Falls ja, kann dieser Ausdruck noch weiter vereinfacht werden ?

Wie soll man für vorgehen? Du sagtest ja bereits das man dazu die Laurent Reihe benutzen kann



Ich habe aber eine Term von der Form



Da bringt mir die obige Reihenentwicklung doch nichts.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Silencium92
Ist diese Näherung korrekt?

Falls die Ableitung jetzt stimmt (die habe ich nicht nachgerechnet), dann ist das eine mögliche Näherung, ja.
Man könnte, wenn man will, noch ausklammern:



Zitat:
Original von Silencium92
Da bringt mir die obige Reihenentwicklung doch nichts.

Fällt dir wirklich kein Zusammenhang zwischen den Termen und auf?
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