Fourier-Koeffizienten und Reihe

31.01.2018, 14:18

hokkas87

Fourier-Koeffizienten und Reihe

Meine Frage:
Servus an alle Mathe-liebhaber. Ich habe eine Aufgabe mit dieser habe ich schwierigkeiten.

Meine Ideen:
Zu a): Wegen der $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ Periode muss $\begin{eqnarray*} f(\pi) = f(-\pi)=e^{-\pi} \end{eqnarray*}$ gelten.

zu b): für $\begin{eqnarray*} l\in Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t \in [ l*2\pi -\pi, l*2\pi+\pi) \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} f(t)=e^{t-l*2\pi} \end{eqnarray*}$

zu c) ab hier komme ich leider überhaupt nicht mehr weiter..

31.01.2018, 15:09

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Es gilt wie immer:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1 {T_0} \int_0^{T_0} f(t) \cdot e^{-i k \omega t}dt \end{eqnarray*}$ .

Wo gibt es Schwierigkeiten?

Viele Grüße
Steffen

31.01.2018, 15:57

hokkas87

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Hallo Steffen smile

$\begin{eqnarray*} c_{k} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{t}*e^{-ikt} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! e^{-ikt+t} \, dt \end{eqnarray*}$

und kriege :

$\begin{eqnarray*} = \frac{e^{\pi(1-ik)}-e^{\pi(ik-1)}}{2\pi} *\frac{1}{1-ik} \end{eqnarray*}$ aber ich habe keine Ahnung ob das stimmt leider unglücklich

31.01.2018, 16:05

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Doch, das ist völlig in Ordnung. Du könntest noch etwas vereinfachen.

31.01.2018, 16:13

hokkas87

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
echt das hätte ich jetzt nicht gedacht geschockt

vereinachen ? hmm.. ich weiß nicht genau wie ich das vereinfachen soll verwirrt

31.01.2018, 16:24

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Zum Beispiel ist $\begin{eqnarray*} e^{\pi(1-ik)} = e^{\pi} \cdot e^{-ik \pi} \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} e^{-ik \pi} \end{eqnarray*}$ ist entweder 1 oder -1, je nach k. Das kann man auch anders ausdrücken.

Allerdings ist hier ja keine Vereinfachung gefordert, mit c bist Du dann fertig.

Das Vorgehen bei d ist ja schon bekannt. smile

Und was eine Fourierreihe bei Sprungstellen der Originalfunktion macht, sollte bekannt sein. Zur Not hilft wieder Wiki.

31.01.2018, 16:41

hokkas87

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Achso ja ich könnte ja einfach

$\begin{eqnarray*} (-1)^k \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi} * \frac{1}{1-ik} \end{eqnarray*}$
schreiben.

bei der c) soll ich ja noch die Komplexe Fourier Reihe berechnen..

$\begin{eqnarray*} S_{\infty }f(t) = \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi} \sum\limits_{k=-\infty }^{\infty } (-1)^{k} \frac{1}{1-ik} e^{-ikt} \end{eqnarray*}$

also so.

und nun zu der d) :

Wie schon in der letzten Aufgabe müssen wir aus ck die Koeffizenten ak und bk berechnen.
Sowie in der letzten Aufgabe wird es dann wohl nicht klappen denn wir haben keine Konjugierte dabei unglücklich

Ich merke gerade mit diesem teil habe ich am meisten schwierigkeiten..

P.S: Danke Steffen du hilfst mir echt sehr smile

31.01.2018, 16:45

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe

Zitat:

Original von hokkas87
wir haben keine Konjugierte dabei

Doch, natürlich. Das k läuft ja durch sämtliche ganzen Zahlen. Aus einem $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ und seinem konjugierten Partner $\begin{eqnarray*} c_{-k} \end{eqnarray*}$ kannst Du also ganz stur ein $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ bilden.

31.01.2018, 17:10

hokkas87

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Ok dann mach ich das mal.

Also die Formel die ich von dir habe ist :

$\begin{eqnarray*} a_{k}= (c_{k}+c_{-k}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_{k}= i(c_{k}-c_{-k}) \end{eqnarray*}$ .

Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{\pi}-e^{-pi}}{2\pi}\left(\frac{(-1)^k}{1-ik}+\frac{(-1)^{-k}}{1+ik} \right) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig ?

31.01.2018, 17:14

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Ja, sieht gut aus. Auch hier kannst Du wieder etwas vereinfachen, wenn Du Zeit und Lust hast.

31.01.2018, 17:50

hokkas87

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Also ich habe nun vereinfacht und kriege

$\begin{eqnarray*} a_{k} = \frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi} *\frac{(-1)^k}{1+k^2} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} b_{k} = -\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi} *\frac{(-1)^k*k}{1+k^2} \end{eqnarray*}$ raus.
Außerdem gilt dann für die Reele-Fourier Reihe:

$\begin{eqnarray*} S_{\infty }f(t)=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{\pi} (\frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{(-1)^k}{1+k^2} cos(kt) - \frac{(-1)^k*k}{1+k^2} sin(kt) ) \end{eqnarray*}$

stimmt das so? verwirrt

habe kein gutes gefühl..

31.01.2018, 19:34

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fourier-Koeffizienten und Reihe
Ich sehe jetzt keinen Fehler. Setz doch mal die ersten paar k ein und plotte Dir die entstehende Funktion, dann merkst Du schnell, ob es passt.

Neue Frage »

Antworten »

Fourier-Koeffizienten und Reihe

Verwandte Themen