Wendepunkt

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tina123 Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkt
Hallo,
ich hab´ da gerade ein Problem.
Bisher hab´ ich meine Wendestellen immer so berechnet.
2.Ableitung gleich Null und wenn die dritte Ableitung ungleich Null war ... alles paletti.

Wenn die dritte Ableitung aber null ist, weiß man nichts - es könnte ein Extremwert oder eine Wendestelle sein ... oder gibt es sonst noch was anderes.
Wäre es aber ein Extremwert, hätte ich diesen schon in der ersten Ableitung herausbekommen.

Liefert mir f´(x)=0 bspw. nur 0 als Lösung und f´´(x)=0 liefert 0 und 2, so kann doch x=2 eigentlich nur eine Wendestelle sein - da brauch´ ich doch gar keine dritte Ableitung mehr, oder?
Gruß
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wendepunkt
https://www.onlinemathe.de/forum/Wann-wi...ung-gleich-null
http://www.matheboard.de/archive/2184/thread.html
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@adiutor: Warum so lieblos? Hat sich tina deiner Meinung nach nicht ausführlich genug geäußert, um ihr eine eigenständige Antwort zu geben, oder zumindest zu kommentieren, was sie unter dem Link erwartet?

@tina:
In deinem Beispiel ist x=2 eine Wendestelle, aber viel interessanter ist der Fall x=0. Liegt dort eine Wendestelle oder eine Extremstelle?
tina123 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
@adiutor: Warum so lieblos? Hat sich tina deiner Meinung nach nicht ausführlich genug geäußert, um ihr eine eigenständige Antwort zu geben, oder zumindest zu kommentieren, was sie unter dem Link erwartet?

@tina:
In deinem Beispiel ist x=2 eine Wendestelle, aber viel interessanter ist der Fall x=0. Liegt dort eine Wendestelle oder eine Extremstelle?


Danke Helferlein

bei x=0 befindet sich ein Tiefpunkt.
was mich an der ganzen Sache stutzig machte war die Tatsache dass mein TI Voyage diesen Wendepunkt nicht findet.

PS: nur noch mal zur Beruhigung:
liefert meine zweite Ableitung einen zunächst vermeintlichen WP, der aber in der ersten Ableitung nicht auftaucht, so ist dies garantiert ein WP und braucht auch nicht mit der dritten Ableitung überprüft werden?
Gruß und Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
In deinem Beispiel ist x=2 eine Wendestelle

Wieso das? ist bei den gegebenen Rahmenbedingungen nicht notwendig eine Wendestelle, man betrachte etwa die Funktion



Die Kurve wird am Punkt x=2 zwar "flach" (d.h. Krümmung 0), aber sie bleibt (lokal) streng konvex. Damit ist es keine Wendestelle.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich wohl in dieselbe Falle getappt, wie tina. Hammer

Unter der Voraussetzung lässt sich erst einmal nur sagen, dass bei x=a kein Extrem vorliegt. Es muss aber, wie man an HALs Beispiel sieht, nicht unbedingt eine Wendestelle sein, wenn zusätzlich . Nicht umsonst ist nur ein notwendiges Kriterium für Wendestellen.
 
 
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Und noch ein "Koch":
Man könnte es Schülern nicht oft genug raten, die Überprüfung auf Wendepunkt (ebenso wie auf Extrempunkt) nicht immer nur durch stures Einsetzen in höhere Ableitungen vorzunehmen, sondern stattdessen das Vorzeichenwechsel-Kriterium zu benutzen. Gerade bei den im Schulbereich vorkommenden Funktionen läßt sich das meistens schon "argumentativ" gut begründen. Und etwas voluminösere Funktionen, die man nicht gern nochmal ableiten will, lassen sich dafür häufig übersichtlich faktorisieren.
tina123 Auf diesen Beitrag antworten »

also,
um mal etwas Fleisch an den Knochen zu bringen.

Die Fkt. lautet: f(x)=1/60*x^6-1/10*x^5+1/6*x^4
f´(x)=0 liefert x=0
f´´(x)=0 liefert x1=0 und x2=2
f´´´(2)=0

was ist denn nun an der Stelle x=2 los?
Mein TR meint : da ist kein WP
wie kann ich das mithilfe des VZW-Kriteriums nachweisen?

Gruß und Dank
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist und das kann aufgrund der beiden quadratischen Terme keinen Vorzeichenwechsel vollziehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Um es kurz zu sagen: Das ist ja noch boshafter als mein Beispiel - das basierte nämlich auf mit C=60 (die Konstante war nur so gewählt, dass alle Koeffizienten in f ganzzahlig sind). Big Laugh
tina123 Auf diesen Beitrag antworten »

ääähm ja,
danke mal.

und Entschuldigung dass ich nicht alles kapiere ... aber ist denn nun bei meiner Fkt. bei x=2 los?

Gruß und Dank
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Der Graph befindet sich in einer ständigen Linkskrümmung, welche an den Stellen 0 und 2 nur kurz aussetzt.

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

An beiden Stellen, x = 0 und x = 2 befindet sich ein Flachpunkt (ohne Krümmungswechsel).

Dies sieht man daran, dass an beiden Stellen die dritte Ableitung gleich Null ist, die vierte Ableitung jedoch ungleich Null (+4).
Das positive Vorzeichen der 2. Ableitung im ganzen Bereich zeigt überdies das Verhalten einer Linkskrümmung (positive Krümmung) an.

Dies alles ist auf diesem Wege auch ohne Zerlegung des Polynomes oder Vorzeichenwechsel leicht zu ermitteln.
Ähnliche Gesetzmäßigkeiten - d.h. solange Ableitungen bilden, bis eine schließlich das erste Mal ungleich Null ist - können auch bei der Berechnung von Extrema und Wendepunkten angewandt werden.

mY+
andyrue Auf diesen Beitrag antworten »

oder, um's für schüler kompatibel zu formulieren, wenn du die 2. ableitung zu null setzt,
sind die lösungen wendestellenkanditaten

wenn die dritte ableitung dort ungleich null ist, ist es auf jeden fall ein wendepunkt

wenn die dritte ableitung null ist kann es dennoch es eine wendestelle sein

entscheidend ist, ob die nullstelle der zweiten ableitung einen vorzeichenwechsel hat,

ich hab hier die zweite ableitung bei x=1,9 und x=2,1 untersucht .. kein vorzeichenwechsel, also kein wendepunkt

andy
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Und dazu noch meinen Senf:
notwendige Bedingung ist, dass die 2. Ableitung Null ist. Und wenn nun zusätzlich die erste von Null verschiedene Ableitung ungerade ist, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt.

Hier z.B. ist

PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Interessant!

Solch eine Funktion, bei der die Krümmung "kurz aussetzt" (obwohl es ja auch nur ein stinknormales Polynom ist), habe ich ja noch nie gesehen! Und von einem "Flachpunkt" hatte ich bislang auch noch nichts gehört. geschockt

Wieder etwas dazu gelernt! Wofür das Matheforum nicht alles gut ist! Wink
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

auf dem amerikanischen Rennovalen gibt es 4 Stellen wo das Lenkrad neutral steht. = Flachkurve.
So wie bei den Superellipsen mit

anklicken:

[attach]46476[/attach]


https://de.wikipedia.org/wiki/Superellipse
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