Stetig differenzierbar

01.02.2018, 09:44	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetig differenzierbar Meine Frage: Ich bräuchte Hilfe oder einen Tipp bei folgender Aufgabe: Sei h:[0,3] -> R eine stetige Funktion, differenzierbar auf (0,3), h(0)=1, h(1)=2, h(3)=2 Begründe: Es gibt ein x aus (0,3) mit h(x)=x Es gibt ein x aus (0,3) mit h'(x)=1/3 Es gibt ein x aus (0,3) mit h'(x)=1/4 Meine Ideen: h'(x)=1/3 folgt aus dem Mittelwertsatz [f(b)-f(a)]/[b-a]=f'(x) Habe einige Sachen ausprobiert (erweiterter Mittelwertsatz, Satz von Rolle,..) und komme nicht weiter. Wäre schön wenn mir jemand einen Stichpunkt nennen könnte mit dem ich weiter komme.
01.02.2018, 10:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1) Folgt mit Zwischenwertsatz, angewandt auf die ebenfalls stetige Funktion $\begin{eqnarray} f(x):=h(x)-x \end{eqnarray}$ . Zu 3) Man betrachte die im Intervall $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ stetige Funktion $\begin{eqnarray} g(x):=\frac{h(3)-h(x)}{3-x} = \frac{2-h(x)}{3-x} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} g(0)=\frac{1}{3} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} g(1)=0 \end{eqnarray}$ , es gibt nach ZWS daher einen Punkt $\begin{eqnarray} y\in (0,1) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(y)=\frac{h(3)-h(y)}{3-y} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . Nach MWS folgt dann die Existenz eines $\begin{eqnarray} \xi\in (y,3) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h'(\xi)=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . P.S.: Man darf übrigens bei 3) nicht den Fehler begehen anzunehmen, dass die Ableitung $\begin{eqnarray} h' \end{eqnarray}$ stetig ist und man daher den ZWS auf die Ableitung anwenden zu wollen: Bloße Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ bedeutet nicht zwangsläufig, dass die Ableitung $\begin{eqnarray} h' \end{eqnarray}$ stetig ist!!!
01.02.2018, 11:17	Jekyllvshyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, glaube ich habe es: Ansatz: f(x)=h(x)-x, f ist stetig auf [0,3] da h und x stetig. Es gilt f(0)>0>f(3), nach dem ZWS existiert daher ein x aus [0,1] mit f(x)=0 ==> h(x)=x
01.02.2018, 11:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die Idee bei 1). EDIT: Und bei 3) ist auch alles soweit klar? Der gewählte Weg kann offenkundig auch so ausgebaut werden, dass man $\begin{eqnarray} \left[0,\frac{1}{3}\right]\subseteq h'((0,3)) \end{eqnarray}$ nachweisen kann.

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