Extremwertprobleme mit mehreren Variablen - Delta = 0?

01.02.2018, 15:42

Moritary

Extremwertprobleme mit mehreren Variablen - Delta = 0?

Hallo zusammen,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe: Bestimmen sie die Extrema der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=3xy \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2-y^2=8 \end{eqnarray*}$ , mit der Lagrange-Methode. Das grundsätzliche Vorgehen bei solchen Aufgaben ist mir klar: Lagrange Funktion aufstellen, part. ableiten, 1 und 2. Gleichung gleichsetzen, Werte für x, y und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen und in der Hinreichenden Bedingung das Delta-Kriterium überprüfen.

Mein Ansatz sah also folgendermaßen aus: Die Lagrange-Funktion lautet $\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda)=3xy+\lambda(8-x^2-y^2) \end{eqnarray*}$ . Die part. Ableitungen lauten also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x}= 3y-2x \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y} = 3x-2y\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 8-x^2-y^2 \end{eqnarray*}$

Nach bisschen umformen bekomm ich als möglichen Extremwert unter anderem den Punkt $\begin{eqnarray*} (2,2, \frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ raus. Laut Kurzlösung ist besagter Wert auch richtig. Soweit, so gut also.

Nun muss man bekanntlich das Delta-Kriterium überprüfen. In der Vorlesung hatten wir dazu folgende Formel: $\begin{eqnarray*} \Delta = 2L_{x, y}g_{x}g_{y}-L_{x, x}(g_{y})^2-L_{y, y}(g_{x})^2 \end{eqnarray*}$ . Damit jetzt nicht zu unübersichtlich wird, hab ich die ganzen partiellen Ableitungen mal als Bild dran gefügt. Jetzt zur eigentlichen Frage: Setzt man dann den Punkt $\begin{eqnarray*} (2,2, \frac{3}{2}) \end{eqnarray*}$ in die Formel ein, kommt da bei mir $\begin{eqnarray*} 96-48-48=0 \end{eqnarray*}$ raus. Laut Vorlesung handelt es sich um ein Minimum, wenn $\begin{eqnarray*} \Delta <0 \end{eqnarray*}$ ist und um ein Maximum wenn $\begin{eqnarray*} \Delta >0 \end{eqnarray*}$ ist. In dem Fall ist das Delta jedoch 0. Von der Intuition her, hätte ich jetzt gesagt, dass es sich eben doch nicht um ein Extremum handelt. Laut Kurzlösungen soll besagter Punkt jedoch ein Maximum sein.

Ich bin das ganze jetzt gefühlt 10 mal durchgegangen und hab nach Rechenfehlern gesucht, und hab keinen gefunden. Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt? Oder sind die Kriterien aus der Vorlesung falsch und es handelt sich um ein Maximum, wenn $\begin{eqnarray*} \Delta \ge 0 \end{eqnarray*}$ ist (Kann ich mir zwar nicht vorstellen, wahrscheinlich liegt der Fehler bei mir, aber möglich ist's ja^^)

Vielen Dank schon einmal im Voraus smile

Kurze Anmerkung: Auf dem Bild ist'n kleiner Schreibfehler, in der 2. Zeile links sollte nicht $\begin{eqnarray*} L_{x,y}=L_{x,\lambda}=3 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} L_{x,y} = L_{y,x} = 3 \end{eqnarray*}$ stehen. Ändert aber ansonsten nix^^

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

01.02.2018, 16:04

klarsoweit

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RE: Extremwertprobleme mit mehreren Variablen - Delta = 0?
Also irgendwie paßt die Nebenbedingung:

Zitat:

Original von Moritary
unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2-y^2=8 \end{eqnarray*}$

nicht zu

Zitat:

Original von Moritary
Die Lagrange-Funktion lautet $\begin{eqnarray*} L(x,y,\lambda)=3xy+\lambda(8-x^2-y^2) \end{eqnarray*}$ .