Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Neue Frage »

forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Hallo,

mit der folgenden Aufgabe komme ich leider absolut nicht klar.

Mit Hilfe des MWS der Differentialrechnung soll gezeigt werden:
Für gilt:

Durch den Betrag ist doch die linke Seite bei x=1 schon nicht mehr differenzierbar. Wie soll ich dann den MWS anwenden?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist a? verwirrt

Zitat:
Original von forbin
Durch den Betrag ist doch die linke Seite bei x=1 schon nicht mehr differenzierbar.

Du sollst ja den Mittelwertsatz nicht unbedingt auf anwenden.
 
 
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das a sollte eine 1 sein, habe es verbessert.
Ja, ich habe schon mal gedacht, dass ich die Differenz oder den Quotienten bilde, aber damit bleibt mir doch die nicht differenzierbare Stelle erhalten verwirrt
Also ich bin da in der Vorlesung nicht durchgestiegen und beiße mir jetzt hieran wirklich die Zähne aus.
Ich sehe den Zusammenhang einfach nicht,
Der Satz sagt mir, dass es irgendwo eine Stelle gibt, deren Tangensteigung gleich der Sekantensteigung zwischen zwei vorher festgelegten Punkten ist.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wende den Mittelwertsatz auf die Funktion im Intervall (falls ) bzw. (falls ) an.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme das Intervall [1,x].


So?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig soweit. Aus welchem Intervall kommt das ?

Damit kannst du in der Gleichung die rechte Seite nach oben abschätzen.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Achja, das kommt aus dem selben Intervall.
Also gilt:
.
Und nun kann ich x-1 auf die rechte Seite multiplizieren.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Freude

Damit hast du die Ungleichung schon für bewiesen (in diesem Fall ist ja und ).
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Witz, dass ist einer der Momente wo ich sage "Ich habe gerade wirklich was gelernt!".
Danke!!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. smile

Für den Fall konntest du die Ungleichung auch zeigen?


Es gibt übrigens noch viele weitere Ungleichungen, die man mit dem Mittelwertsatz beweisen kann, z.B. für alle oder für .
Das Prinzip ist eigentlich immer dasselbe: Man zeigt mithilfe des Mittelwertsatzes, dass für eine stetige Funktion , die auf differenzierbar und beschränkt ist, gilt:

.
(Das ist der Schrankensatz).
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Wähle .
Dann gilt nach MWS:

Dann wie oben smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »