Gemeinsame Dichte von X^2+Y^2

01.02.2018, 22:28

konrad1

Gemeinsame Dichte von X^2+Y^2

Hallo,

es seien X und Y unabhängig und standardnormalverteilt. Ich soll die Dichten $\begin{eqnarray*} Z=X^{2}+Y^{2} und Q=X/Y \end{eqnarray*}$ bestimmen und prüfen ob sie unabhängig sind. Habt ihr eine Idee wie man das am Besten macht? Ich habe ein Beispiel bei dem man die gemeinsame charakteristische Funktion von U=X+Y ermittelt und daraus die Dichte. Aber was mach ich beim quadiereren? Soll ich die char. Funktion der Standardnormalverteilung quadrieren?

LG

Konrad

02.02.2018, 08:57

HAL 9000

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RE: Gemeinsame Dichte von X^2+Y^2

Zitat:

Original von konrad1
Aber was mach ich beim quadiereren?

Man setzt dann genauso an

$\begin{eqnarray*} \varphi_{Z,Q}(t_1,t_2) = E\left[ \exp\left(i(t_1Z+t_2Q)\right) \right] = E\left[ \exp\left( i\left(t_1(X^2+Y^2)+t_2\frac{X}{Y}\right) \right) \right] = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( i\left(t_1(x^2+y^2)+t_2\frac{x}{y}\right)-\frac{x^2+y^2}{2} \right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Tja, und jetzt musst du das Integral auswerten, das kann natürlich mehr oder weniger haarig werden.

Eine Alternative ohne charakteristische Funktion wäre der Transformationssatz, aber auch da wird das ganze wohl in hässlichen Integralen enden. verwirrt

EDIT: Hmmm, nein, du musst die charakteristische Funktion ja nicht konkret ausrechnen - für die Unabhängigkeit reicht es bereits wenn du zeigst, dass sie faktorisierbar ist, d.h.

$\begin{eqnarray*} \varphi_{Z,Q}(t_1,t_2) \stackrel{!}{=} \varphi_Z(t_1) \cdot \varphi_Q(t_2) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \end{eqnarray*}$ .

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