Verständnisfrage zu Kalkülen

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Verständnisfrage zu Kalkülen
Wie nennt man ein Kalkül, wo Folgendes gilt: Wenn ich X nicht syntaktisch beweisen kann, dann ist dadurch bewiesen, dass ~X folgt und dieses ~X ist wahr. Korrekt und vollständig?

Ich habe jetzt nämlich mal gelesen, dass zB KNS ein korrektes und vollständiges Kalkül ist und man dort trotzdem nur die Gültigkeit und nicht die Ungültigkeit von Argumenten beweisen kann. Das müsste aber falsch sein, oder? Wenn KNS korrekt und vollständig ist, dann müßte alles, was in KNS unbeweisbar ist, ungültig (unwahr) sein und damit das Gegenteil gültig (wahr).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein korrekter und vollständiger Kalkül heißt adäquat.

Beispiel:
ist ein Term
Sind Terme, dann ist eine Formel
Axiome
Schlußregeln: keine
Interpretation:
0=0 ; Die nat. Zahl 0 ist gleich der nat. Zahl 0.

Die Formel ist ableitbar, 0=0 ist wahr, also sind alle ableitbaren Formeln wahr. (korekt)
0=0 ist wahr, die Formel ist ableitbar, also sind alle wahren Formeln ableitbar. (vollständig)

Du willst vermutlich auf irgend etwas anderes hinaus, das bekommst du aber nicht geschenkt. Alles was in meinem Beispielkalkül nicht beweisbar ist, ist nicht interpretierbar. 1=1 ist in den natürlichen Zahlen wahr, aber nicht in meinem Beispielkalkül beweisbar. Es ist also nicht so, wie du vermutest, dass jede unbeweisbare Formel in einem adäquaten Kalkül falsch und ihre Negation wahr ist.
 
 
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Kalkül ist doch aber nicht vollständig, weil eben nicht alle wahren Formeln ableitbar sind, oder? Denn in deinem Kalkül ist zB die wahre Formel (A -> B & A) -> B nicht ableitbar. Ist ein Kalkül vollständig (korrekt sowieso), dann verstehe ich es so, dass in ihm alle wahren Formeln ableitbar sind und damit gilt doch in so einem Kalkül: was nicht ableitbar ist, muss falsch sein bzw. dessen Negation muss wahr (und damit ableitbar) sein.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor man über Eigenschaften von Kalkülen reden kann, muss man wissen, was ein Kalkül ist. Ich werde das hier nicht erläutern, das ist mir zu trivial.
Zweifellos sind im adäquaten 0=0-Kalkül weder wahre noch falsche Aussagen über den kleinen König Kalle-Wirsch noch über die Physik kompakter Sterne möglich. Big Laugh
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ein korrekter und vollständiger Kalkül heißt adäquat.

Beispiel:
ist ein Term
Sind Terme, dann ist eine Formel
Axiome
Schlußregeln: keine
Interpretation:
0=0 ; Die nat. Zahl 0 ist gleich der nat. Zahl 0.

Die Formel ist ableitbar, 0=0 ist wahr, also sind alle ableitbaren Formeln wahr. (korekt)
0=0 ist wahr, die Formel ist ableitbar, also sind alle wahren Formeln ableitbar. (vollständig)

1=1 ist in den natürlichen Zahlen wahr, aber nicht in meinem Beispielkalkül beweisbar.


...und damit in deinem Kalkül doch falsch! Das wäre was ich meine: was in einem vollständigen Kalkül nicht ableitbar ist, das ist dort falsch (in einem anderen Kalkül kann das natürlich anders aussehen, wenn das mächtiger ist).

Bei der Vollständigkeit scheine ich auch etwas völlig falsch verstanden zu haben. Ich dachte bisher, ein System sei erst vollständig, wenn es alle überhaupt denkbaren logischen Wahrheiten herleiten kann, so eine Art absolute Vollständigkeit, während mir durch dein Bsp. klar wurde: Vollständigkeit ist relativ zu den betreffenden Axiomen und besagt: alles, was die Axiome an logischen Wahrheiten hergeben, ist auch tatsächlich ableitbar. Richtig? Das würde erklären, warum dein Bspkalkül vollständig wäre, obwohl dort nur eine Aussage ableitbar ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kommen wir uns langsam näher, denn du hast möglicherweise einen Begriff verstanden.

Die Relation zwischen dem Kalkül und den natürlichen Zahlen ist aber anders als du glaubst:
(i) 1=1 ist in natürlichen Zahlen wahr, das ist von Kalkülen völlig unabhängig. Von Wahrheit kann überhaupt nur im Bereich der Interpretation gesprochen werden.
(ii) ist im Kalkül nicht ableitbar, also auch nicht beweisbar. Ein Kalkül macht keine Aussage über wahr oder falsch.

Es gibt noch einen kleinen Unterschied zwischen den Begriffen ableitbar und beweisbar in einem Kalkül. Eine Formel F heißt ableitbar aus einer Menge M von Formeln, wenn die Schlußregeln es zulassen, dass die Formel F aus der Menge M abgeleitet werden kann. Eine Formel F heißt beweisbar, wenn sie aus der Menge der Axiome abgeleitet werden kann.

Gödel hat bewiesen, dass jeder (widerspruchsfreie) Kalkül, der die Arithmetik beinhaltet, unvollständig ist. Damit ist klar, dass es keinen "absolut vollständigen" Kalkül geben kann. Ein solcher müsste doch auch alle arithmetischen Wahrheiten beweisen können, und eben das kann kein (widerspruchsfreier) Kalkül. (Ein widersprüchlicher Kalkül, der die Arithmetik beinhaltet, kann alles mögliche beweisen, aber weil er widersprüchlich ist, ist er zu nichts zu gebrauchen.)
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal bitte, ob ich das alles richtig verstehe:

(K)alkül = System von Schlußregeln (und manchmal auch Axiomen)

ableitbar = eine Aussage ist in K herleitbar, geschrieben: K |- a

(M)odell = Vorgaben für die Interpretation von Aussagen als wahr oder falsch (hat nix mit Kalkül zu tun!)

beweisbar = eine Aussage ist im Modell wahr, geschrieben: M |= a

Jetzt will man logischerweise ein K, in dem alle ableitbaren Aussagen auch im benutzten Modell wahr sind (Korrektheit) und in dem alle wahren Aussagen des Modells auch im Kalkül ableitbar sind (Vollständigkeit). Dein o.g. Beispielskalkül wäre zwar korrekt, aber nicht vollständig, gerade weil zB 1=1 nicht ableitbar ist. Denn unser Modell wäre für PL definiert (so in der Mathematik üblich) und da ist x=x wahr, ob nun 0=0, 1=1 oder zicke = zicke. (Wenn du natürlich dein Modell nimmst, in dem ja nur 0=0 überhaupt als wahr definiert wurde, hättest du natürlich Recht, aber das benutzt ja so keiner.)

Gödel zeigt, dass für ein prädikatenlogisches Modell mit gewisser Mächtigkeit kein Kalkül existiert, der alle wahren Aussagen dieses Modells produzieren kann (oder er kann es, produziert dann aber auch falsche). Unterhalb dieser Mächtigkeit gibt es PL- und AL-Modelle, für die Kalküle existieren, die alle wahren Aussagen dieses Modells produzieren können (Gödels Vollständigkeitssatz?). In so einem Kalkül - zB KNS - gilt dann: ableitbar gdw. wahr und daraus folgt: unableitbar gdw. falsch. Ich hätte dann Recht, dass man in so einem korrekten und vollständigen Kalkül von der Nichtableitbarkeit auf die Falschheit schließen könnte. Das gilt insbesondere auch für dein Beispielsmodell: wenn dort eine Aussage nicht ableitbar ist, dann wäre sie falsch, denn nur 0=0 wäre ja wahr und das wäre ableitbar.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Schön viel Text, leider auch viel falsch. So ist das eben in der natürlichen Sprache, wenn man nicht aufpasst.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Markiere doch mal die Sätze die deines Erachtens falsch sind oder schreib was dazu, wobei wir uns nicht um Begriffe streiten sollten, zB ob man nun 'Modell' oder 'Interpretation' dazu sagt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Markieren ist nicht nötig, denn jeder Satz ist falsch. Ich bin nur dann bereit, mit dir zu diskutieren, wenn du meine Beiträge zur Kenntnis nimmst und verstehst. Bisher hast du alles nur verdreht.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ein korrekter und vollständiger Kalkül heißt adäquat.

Beispiel:
ist ein Term
Sind Terme, dann ist eine Formel
Axiome
Schlußregeln: keine
Interpretation:
0=0 ; Die nat. Zahl 0 ist gleich der nat. Zahl 0.

Die Formel ist ableitbar, 0=0 ist wahr, also sind alle ableitbaren Formeln wahr. (korekt)
0=0 ist wahr, die Formel ist ableitbar, also sind alle wahren Formeln ableitbar. (vollständig)

Du willst vermutlich auf irgend etwas anderes hinaus, das bekommst du aber nicht geschenkt. Alles was in meinem Beispielkalkül nicht beweisbar ist, ist nicht interpretierbar. 1=1 ist in den natürlichen Zahlen wahr, aber nicht in meinem Beispielkalkül beweisbar. Es ist also nicht so, wie du vermutest, dass jede unbeweisbare Formel in einem adäquaten Kalkül falsch und ihre Negation wahr ist.


Ok, dann nehme ich nochmal dein Beispiel. Was du da schreibst ist verwirrt . 0=0 ist dort ableitbar und wahr, jede andere Formel wäre unableitbar und falsch, bestätigt genau meine Vermutung. Wenn in einem System gilt: |- a -> |=a (Korrektheit) und |=a -> |-a (Vollständigkeit), also |-a <-> |=a, kann es keinen Fall geben, wo a nicht abgeleitet werden kann und dennoch wahr wäre; man kann daher in korrekten und vollständigen Systemen schließen: ist a ableitbar, dann ist a wahr, ist a nicht ableitbar, dann ist a falsch.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was du sagst, ist falsch. ist im Kalkül ableitbar und beweisbar, 0=0 ist in natürlichen Zahlen wahr. Darüber hinaus gibt es im Kalkül keine weitere Formel. Ich habe nicht geschrieben, dass irgendeine andere Formel im Kalkül falsch ist, das ist nicht so, da irrst du. In einem Kalkül gibt es Formeln, in einem Kalkül gibt es weder wahr noch falsch.
ist kein Term und keine Formel des Kalküls, du hast kein Recht, mit meinem Kalkül in Verbindung zu bringen. a ist keine natürliche Zahl, a=a ist keine Aussage über natürliche Zahlen, es macht keinen Sinn, a oder a=a als Interpretation von etwas anzusehen, das es nicht gibt.
Wieso du zum Schluss deiner Ausführungen dann a gleichzeitig als Aussage im Kalkül (in welchem ?) und als Aussage im Interpretationsbereich (in welchem ?) in Verbindung bringen willst, erschließt sich mir nicht.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

1. Zunächst mal zu deinem Beispiel: Du stellst dort einen Kalkül mit einem Modell (Interpretation) vor. Aus dem Kalkül ist überhaupt nur "0=0" ableitbar und das - und nur das - soll in deinem Modell auch wahr sein. Damit ist jede andere Formel in deinem Kalkül nicht ableitbar und genauso nach deinem Modell falsch. Denn wenn du in deinem Modell "0=0" als wahr deklarierst, dann ist in einer zweiwertigen Logik klar, dass alles andere falsch sein soll (ansonsten wäre dein Modell Unfug).

2. Ganz allgemein kann man beweisen, was ich vermutete: Gegeben ein beliebiges Kalkül K mit einer Formelmenge F und einer beliebigen Interpretation: Wenn K korrekt und vollständig ist, dann gilt: F |- a <-> F |= a. Daraus folgt in (zweiwertiger) klass. Logik sofort meine Vermutung: leitet man a aus F ab, dann ist a wahr, kann man es nicht ableiten, dann ist a falsch.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Interpretation des Kalküls ist zulässig, denn das ist eine Abbildung der Terme und der Aussagen. Eine Interpretation kann nicht mehr interpretieren als da ist. Natürlich ist 0=0 und 1=1 in natürlichen Zahlen wahr, ich deklariere das nicht, es ist so.
Deine Vermutung ist falsch, und was du mit klassischer zweiwertiger Logik sagen willst, bleibt unklar. Beweise, was "man" "allgemein" "beweisen" "kann", und behaupte es nicht nur.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Deine Vermutung ist falsch, und was du mit klassischer zweiwertiger Logik sagen willst, bleibt unklar. Beweise, was "man" "allgemein" "beweisen" "kann", und behaupte es nicht nur.


Ich würde es (informell) so beweisen:

Gegeben ein beliebiges Kalkül K mit einer beliebigen Formelmenge F und einer beliebigen Interpretation: Wenn K korrekt und vollständig ist, dann gilt: (F |- a) <-> (F |= a). Das wäre ein wahres Bikonditional und ein Blick auf dessen Wahrheitstabelle zeigt uns, dass damit entweder beide Teile wahr oder beide Teile falsch sein müssen, woraus folgt: (F |- a) -> (F |= a), d.h. a ist ableitbar, dann ist a wahr und ~(F |- a) -> ~(F |= a), d.h. a ist nicht ableitbar, dann ist a nicht wahr, also falsch.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ernsthaft versucht, das zu verstehen, aber es will mir nicht gelingen. Adäquater Kalkül K, Interpretation I, Bijektion zwischen beweisbaren Aussagen in K und wahren Aussagen im Modell. So weit so gut. Beispiel habe ich angeboten, das gefällt mir immer noch.
Selbstverständlich kann ich eine weitere wahre Aussage meinem Modell hinzufügen, z.B. "Der Anführer der Blechbüchsenarmee ist General Don Blech." Diese wahre Aussage im umfassenderen Modell ist im Kalkül nicht ableitbar, d.h. derselbe Kalkül mit derselben Interpretation ist für ein anderes Modell immer noch korrekt aber nicht vollständig.
Was immer man sich von der Logik wünschen kann, in der Mathematik und vielen anderen Wissenschaften wird man selten von Don Blech reden. Wer es dennoch mit Anspruch auf Logik tut, redet Blech. Augenzwinkern
Du kannst nicht ernsthaft behaupten wollen, General Don Blech sei nicht der Anführer der Blechbüchsenarmee, weil es korrekte und vollständige Kalküle gibt, in denen diese Aussage nicht ableitbar ist.

Wittgenstein hat gesagt: "Worüber man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen." (Tractatus logico-philosophicus). Wittgenstein hat nicht gesagt: "Worüber man nicht sprechen kann, das ist falsch." Dieter Nuhr hat ergänzt: "Wenn man keine Ahnung hat: Einfach mal Fresse halten." (Entschuldige den Ausdruck, von dem ich mich hiermit distanziere, nur Satiriker dürfen öffentlich derart unfeine Worte benutzen.) ( www.ruhr-uni-bochum.de/philosophy/wittge...er_Gruppe_6.pdf )

Dein merkwürdiger Denkfehler kann daher rühren, dass du den Begriff einer surjektiven Funktion nicht richtig verstanden hast. ist bijektiv, also injektiv und surjektiv. ist injektiv aber nicht surjektiv. Eigenschaften von Funktionen sind nicht nur abhängig vom Graphen sondern auch vom Definitionsbereich und vom Zielbereich, das gilt genau so für Interpretationen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Wir sind uns einig, dass ein korrektes und vollständiges Kalkül sich formal wie folgt definiert: |-a <-> |=a?

Das ist nichts weiter als ein aussagenlogisches Bikonditional, bei dem man doch sofort sieht, dass es unmöglich ist, dass ~(|-a) und dennoch |=a, d.h. das es unmöglich ist, dass ich a nicht herleiten kann und a dennoch wahr ist, woraus folgt, dass a in diesem Falle falsch sein muss.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich ist das nicht so. Falsche Aussagen werden durch dauernde Wiederholungen nicht wahr.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

F|-a bedeutet: wenn F gegeben, dann kann man daraus a herleiten
F|=a bedeutet: wenn F als wahr gegeben, dann kann man daraus a als wahr herleiten

Ein korrekter und vollständiger Kalkül mit einer Formelmenge F, die auch leer sein könnte, sähe daher so aus: F|-a <-> F|=a. Dann folgt aus ~F|-a sofort ~F|=a, doch das heißt was anderes als ich dachte: es heißt nur, dass damit nicht mehr gilt: wenn F wahr, dann a wahr, d.h. selbst wenn F wahr ist, kann a wahr oder falsch sein. Genau deshalb kann man aus der syntaktischen Nichtableitbarkeit von a nicht auf die Falschheit von a schließen. Ich hoffe, das ist jetzt richtig. Ich bitte um Feedback.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Sprache ist und bleibt verworren, deswegen kommst du nicht zu sinnvollen Einsichten. Wenn dir meine Erklärungen nicht weiter helfen, lies Dirk W. Hoffmann. Wenn das auch nichts nützt, habe ich keine weiteren Ratschläge für dich.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist diese Version klarer?

Zitat:

F|-p bedeutet: wenn F gegeben, dann kann man daraus p (syntaktisch) herleiten
F|=p bedeutet: wenn F als wahr gegeben, dann kann man daraus p als wahr herleiten

Ein korrekter und vollständiger Kalkül mit einer Formelmenge F, die auch leer sein könnte, wird wie folgt definiert: F|-p <-> F|=p. Das ist ein Bikonditional und daher folgt aus ~(F|-p) sofort ~(F|=p), d.h. es gälte dann nicht mehr: wenn F wahr, dann p wahr. Kann man daraus schließen, dass p in einem solchen Falle falsch sein muss? ME nein, weil ~(F |=p) nur bedeutet, dass aus der Wahrheit von F nicht immer die Wahrheit von p hervorgeht, p kann je nach Einzelfall mal wahr oder falsch sein (manchmal sogar in jedem Fall falsch), darüber sagt ~(F|=p) nichts.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn du sprichst von Formeln statt von Kalkül und Modell, so wird das nie was. Ich habe in meinem Beispiel verschiedene Schrifttypen für Formeln des Kalküls und Aussagen des Modells verwendet. Bitte habe Verständnis dafür, dass ich nicht alle deine Fehler korrigieren möchte, das ist mir zu mühsam. Bei all unseren Diskussionen versuche ich alles richtig zu machen, und du ignorierst alles richtige und versuchst, möglichst viele Fehler einzubauen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, so richtig komme ich in der Tat nicht weiter. In Hoffmann's Buch über die Gödelschen Unvollständigkeitsbeweise finden sich in der Einleitung auf S. 24 folgende Definitionen:

Die Beweisbarkeitsrelation "|-" hat die folgende Bedeutung

|-p : <=> p ist innerhalb des Kalküls beweisbar
~|-p : <=> p ist innerhalb des Kalküls unbeweisbar.

Die Modellrelation "|=" hat die folgende Bedeutung

|=p : <=> p ist wahr
~|=p : <=> p ist falsch

Danach hätte ich Recht, denn ein korrekter und vollständiger Kalkül wird definiert: |-p <=> |=p und damit folgt aus ~|-p sofort ~|=p und das heiße ja nach Obigen, dass p falsch wäre. MaW: In einem korrekten und vollständigen Kalkül kann man aus der Nichtherleitbarkeit von p im Kalkül die Schlussfolgerung ziehen, dass p falsch und mithin ~p wahr ist, womit gleichzeitig ~p irgendwie im Kalkül herzuleiten wäre. Redet deiner Meinung nach Hoffmann Unsinn, denn die Folgerungen aus seinen Definitionen halte ich für trivial?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist genau die Art zu lügen, die ich dir vorwerfe. Du verfälschst die Definition und schließt daraus auf den Unsinn, den du immer wieder behauptest. Ich weiß nicht, wie oft ich hier schon gesagt habe, dass ein fundamentaler Unterschied zwischen (ableitbaren / beweisbaren) Formeln im Kalkül und (wahren) Aussagen im Modell besteht. Genau diesen Unterschied verdeutlicht Hoffmann in seiner Einleitung und in der Definition 1.4.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich weiß nicht, wie oft ich hier schon gesagt habe, dass ein fundamentaler Unterschied zwischen (ableitbaren / beweisbaren) Formeln im Kalkül und (wahren) Aussagen im Modell besteht.


Es geht hier um einen korrekten und vollständigen Kalkül, da sind Kalkül und Modell deckungsgleich: was sich im Kalkül herleiten läßt ist wahr und umgekehrt. Und wenn Hoffmann mit seinen Definitionen recht hätte, dann müßte folgen, dass eine Nichtableitung im Kalkül die Falschheit des Nichtabgeleiteten zur Folge hätte. Denn der adäquate Kalkül wird definiert als |- p <-> |= p und mit den Definitionen Hoffmann's kann man das trivial!!! folgern.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Für dich ist das trivial, für den Rest der Welt ist das falsch. Sollte es nicht ganz falsch sein, so ist es zumindest so unverständlich formuliert, dass ich es nicht verstehe bzw. nicht verstehen will. Falls es richtig sein sollte, was folgt daraus ? Wenn nichts daraus folgt, ist es egal.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gilt:

Zitat:


Die Beweisbarkeitsrelation "|-" hat die folgende Bedeutung

|-p : <=> p ist innerhalb des Kalküls beweisbar
~|-p : <=> p ist innerhalb des Kalküls unbeweisbar.

Die Modellrelation "|=" hat die folgende Bedeutung

|=p : <=> p ist wahr
~|=p : <=> p ist falsch



und wenn gilt

Zitat:

der adäquate (korrekte und vollständige) Kalkül wird definiert als |- p <-> |= p


dann folgt trivial, dass man aus der Nichtableitbarkeit von p (~|-p) auf die Falschheit von p (~|=p) schließen kann. Sind wir uns da einig? Denn das hieße, dass eine oder beide Prämissen falsch sein müssen, wenn du recht hättest. Welche wären das deines Erachtens und inwiefern?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du ein nichttriviales Beispiel ? Kannst du eine Aussage formulieren, die falsch ist, weil eine Formel nicht ableitbar ist ?
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beispielskalkül mit dem Modell "0=0 ist wahr, sonst alles falsch". Man kann dann sagen: die Formel "1=1" ist nicht ableitbar und falsch. Alle nichtableitbaren Formeln wären falsch, nur die eine ableitbare wäre wahr.

Dein Beispielskalkül mit dem Modell "0=0 ist wahr" - dein Original - wäre mE kein hinreichendes Modell, weil aufgrund der Bivalenz notwendig wäre, dass ~"0=0" falsch sein müßte (und dann gälte o.g. Modell).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dich nicht. "... sonst alles falsch" ist außerordentlich schwammig und beschreibt sicher nicht die Welt, in der wir leben oder auch nur akzeptable Teile davon. Du kannst niemanden zwingen, diesen Unsinn zu akzeptieren. Es ist zu offensichtlich, dass du diese schwammige Ausdrucksweise brauchst, um falsche Schlüsse zu ziehen.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich verstehe dich nicht. "... sonst alles falsch" ist außerordentlich schwammig und beschreibt sicher nicht die Welt, in der wir leben oder auch nur akzeptable Teile davon. Du kannst niemanden zwingen, diesen Unsinn zu akzeptieren.


Doch kann ich, denn wer das nicht akzeptiert, der akzeptiert auch nicht das Bivalenzprinzip und wäre damit außerhalb der klassischen Logik und damit klassischen Mathematik. Für jedes Modell muss gelten: wenn dort x als wahr festgelegt wird, dann muss ~x falsch sein. In deinem Modell war einzig "0=0" als wahr belegt. Das ist OK. Aber gleichzeitig steht damit fest, dass (in deinem Modell!!!) alles außer "0=0" falsch sein muss. Und damit klappt in deinem Kalkül meine Vermutung: Was nicht ableitbar ist, das ist falsch. Und wenn Hoffmann's Übersetzungen der Beweisbarkeits- und Modellrelationen stimmen, dann gälte das für alle adäquaten Kalküle. Doch ich fürchte Hoffmann macht da Fehler oder gefährliche Vereinfachungen, denn ich habe in der Tat gelesen, dass auch in einem adäquaten - also korrekten und vollständigen - Kalkül nicht automatisch gilt: x ist nicht ableitbar -> x ist falsch. Ich will verstehen, warum das so ist. Leider findet man dazu nichts, auch nicht im Internet. Ein Gegenbeispiel wäre am besten, deins funktioniert aber eben nicht, s.o.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Modell ist eine Menge von Aussagen, und die Aussagen des Modells sind entweder wahr oder falsch.
a) Es gibt kein Modell, das alle Aussagen umfasst, das ist auch nicht der Anspruch eines Modells.
b) Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Menge aller Aussagen nicht existiert, denn ich habe gute Gründe zu behaupten, dass die Gesamtheit aller Aussagen eine echte Klasse ist.
In jedem Fall a) oder b) bist du hiermit widerlegt, denn es ist weder sinnvoll noch möglich, ein Modell zu konstruieren, das alle Aussagen enthält. Das gleiche gilt für die Gesamtheit der wahren und die Gesamtheit der falschen Aussagen.

Deine Prinzipien, die du anwenden willst, kannst du getrost vergessen. Das sind nur Worte für Eigenschaften, die Kalküle oder Modelle haben können oder auch nicht haben können. Logiker sind keine Beckmesser (kleinliche, pedantische Kritiker, benannt nach dem Nürnberger Meistersinger und Schreiber Sixtus Beckmesser in Richard Wagners Oper Die Meistersinger von Nürnberg von 1867).
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ein Modell ist eine Menge von Aussagen, und die Aussagen des Modells sind entweder wahr oder falsch.
a) Es gibt kein Modell, das alle Aussagen umfasst, das ist auch nicht der Anspruch eines Modells.


Dann wäre nach deinem Modell also zB "1=1" wahrheitswertlos bzw. undefiniert?

Und sicherlich hast du recht, dass die Menge aller Aussagen keine Menge ist, sondern eine echte Klasse. Aber existiert die nicht auch, so dass man das Modell eben einfach als echte Klasse ansehen würde?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel 1=1 ist nicht in meinem Kalkül, die Aussage 1=1 ist nicht in meinem Modell. Die Formel ist nicht undefiniert (was immer das heißen mag), sie existiert nicht. Die Aussage ist nicht wahrheitswertlos (was immer das heißen mag), sie existiert nicht. Was nicht existiert, darüber kann man nicht sprechen - worüber man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.

Für jede Logik ist der Zusammenhang zwischen Kalkül und Modell notwendig, das ist die Interpretation . Definitionsbereich und Zielbereich sind notwendig Mengen, sonst sprechen wir nicht von einer Funktion .

Deinen nächsten Einwand nehme ich schon mal vorweg um ihn zu kontern: Interpretation eines Kalküls in der Klasse aller Aussagen ist nur bei Einschränkung auf das Bild der Interpretation zulässig, und das ist wieder eine Menge. (Jetzt habe ich etwas dazugelernt. smile Danke.)
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Die Formel 1=1 ist nicht in meinem Kalkül, die Aussage 1=1 ist nicht in meinem Modell.


Ja das ist so. Kein Modell kann alle Aussagen drin haben und das wäre der Fall in meiner Lesbart, die sagt: wenn p als wahr definiert wird, dann ~p = falsch. Denn so ein Modell wäre die Allmenge A := {x|x=x} und das ist weder Menge noch Klasse (die Allklasse wäre ja "nur" die Klasse aller Mengen ohne Klassen bzw. jedenfalls ohne sich selbst als Element und damit per se restriktiver als A), sondern einfach ein widersprüchliches Konstrukt, egal wie man es dreht und wendet.

Daraus folgt, dass du recht hast, denn dein Modell wäre ein Beispiel für ein adäquates Kalkül, wo aus der Nichtableitbarkeit einer Formel im Kalkül nicht deren Falschheit im Modell folgt, wo sie schlicht nicht existiert und damit weder wahr noch falsch ist.

Wäre es dann aber nicht noch besser, nicht nur einen korrekten und vollständigen, sondern auch einen solchen Kalkül zu haben, bei dem zusätzlich gilt: ist x im Kalkül nicht abzuleiten, dann ist x im Modell falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was im allgemeinen besser ist. Kalküle und Modelle werden zweckmäßig entwickelt. Und wenn sie da sind, haben sie die Eigenschaften, die ihnen zukommen. Damit kann man Mathematik betreiben, und das ist der Sinn und Zweck von Logik. Wenn man sich nicht für die Anwendung sondern für die Logik selbst interessiert, studiert man Kalküle und Modelle. Qualität (gut/schlecht) und Ordnung (gut/besser)) sind keine geeigneten Begriffe der Wissenschaft.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine Frage in diesem Zusammenhang:

Nehmen wir mal die Allmenge (würde mit Russellscher Menge genauso gehen), also die Menge beliebiger Elemente. Das ist keine Menge nach ZFC, das soll eine Klasse sein, aber ist das nicht eigentlich falsch, weil Klassen nur Mengen als Elemente enthalten können, so dass die Allklasse nie beliebige Elemente (sondern eben nur Mengen) enthalten kann und damit gar nicht identisch zur ursprünglichen Allmenge wäre? Die Allmenge in ihrer urspürnglich naiven Konzeption wäre daher schlicht weder Menge noch Klasse, sondern überall nur unmöglich. Die Allklasse wäre eine Annäherung an die Allmenge, die als Klasse durchgeht und wenn man halt noch weiter einschränkt, dann kann man daraus auch eine Menge machen. Kann man das so sagen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Über Grundlagenprobleme naiver Mengenlehre rede ich nicht, denn das ist heute nicht mehr sinnvoll. Wenn du das zum Thema machen möchtest, dann bitte unter einem neuen Titel. Vielleicht ist jemand anderes bereit, darauf einzugehen. Mit moderner Logik hat das m.E. nichts zu tun, von daher weise ich zurück, dass diese Frage im Zusammenhang mit unserer Diskussion steht.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

PA oder ZFC sind doch Kalküle, nicht wahr? Das heißt es muss dazu noch jeweils eine Interpretation und ein Modell geben, wo festgelegt ist, was wie wahr sein soll. Wie kann man sich das vorstellen? Mal am Bsp. von PA-Addition: n + m' = (n+m)'. Daraus kann man nun zB herleiten, dass 0 + 0' = (0+0)'. In der Interpretation wird daraus 0+1 = 1. Aber woher weiß ich jetzt, dass 0+1 = 1 auch wahr sein soll?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Theorien sind keine Kalküle. Jedes Axiom einer Theorie ist wahr, da es in der Theorie bewiesen werden kann. Beweis für Axiom A : A . qed
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