Homomorphismus und abelsche Gruppe

01.02.2018, 23:55

rrobert

Homomorphismus und abelsche Gruppe

Guten Abend zusammen!

Ich habe eben folgende Aufgabe bearbeitet:

Sei G eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ : G -> G ein Homomorphismus, für den $\begin{eqnarray*} x * \varphi(x) = e \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass dann $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch sein muss.

Musterlösung:

Aus $\begin{eqnarray*} x * \varphi(x) = e \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi (x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist, gilt, $\begin{eqnarray*} \varphi(x * y) =\varphi(x) * \varphi(y) \end{eqnarray*}$ . Es folgt

$\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = x^{-1} * y^{-1} \end{eqnarray*}$ und daraus

$\begin{eqnarray*} y^{-1} * x^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage: Mein Prof zeigt, dass zu x und y jeweils die Inverse existieren und behauptet durch umdrehen von x und y, dass die *-Verknüpfung kommutativ ist. Er kann doch nicht einfach beide Summanden umdrehen und behaupten dass die Verknüpfung kommutativ und somit die Gruppe abelsch ist? Finde das etwas willkürlich...

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe! smile

02.02.2018, 00:55

Mulder

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RE: Homomorphismus und abelsche Gruppe

Zitat:

Original von rrobert
Es folgt

$\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = x^{-1} * y^{-1} \end{eqnarray*}$ und daraus

$\begin{eqnarray*} y^{-1} * x^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Äh, unglücklich aufgeschrieben. Aus einer Aussage folgert man eine andere Ausage und nicht einfach nur irgendeinen Term. Macht keinen Sinn.

Wie auch immer: Mit der Erkenntnis $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = x^{-1} * y^{-1} \end{eqnarray*}$ ist man doch schon am Ziel. Denn in jeder Gruppe gilt $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das habt ihr bestimmt irgendwo mal bewiesen, entweder der Prof selber oder ihr in irgendeiner Übungsaufgabe. Der Beweis umfasst zwei Zeilen, maximal. Wenn du das nicht mehr auf dem Schirm hast, blättere deine Unterlagen nochmal durch beweise es - als Übung - nochmal selber, ist wirklich banal.

Und wenn einerseits

$\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1} = x^{-1} * y^{-1} \end{eqnarray*}$

gilt und andererseits aber auch

$\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$

was folgt daraus? Augenzwinkern

PS:

Zitat:

Mein Prof zeigt, dass zu x und y jeweils die Inverse existieren [...]

Nein, das tut er nicht. G ist nach Voraussetzung eine Gruppe und x und y sind Elemente aus G. Sie besitzen also schon nach Voraussetzung ein Inverses, weil JEDES Element von G ein Inverses besitzt; andernfalls wäre G keine Gruppe!

02.02.2018, 01:44

rrobert

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RE: Homomorphismus und abelsche Gruppe

Zitat:

Original von Mulder
Denn in jeder Gruppe gilt $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Danke! Den Satz hatten wir wie ich gerade sehe!
Ich finde diesen Satz aber verwirrend: Wenn dieser Satz für alle Gruppen gilt, dann kann man annehmen, dass alle Gruppenelemente untereinander kommutieren. Das würde dann aber wiederrum bedeuten, dass jede Gruppe gleichzeitig auch eine abelsche Gruppe ist?! Klingt aber falsch... Übersehe ich hier etwas?

Danke für deine Hilfe!

02.02.2018, 08:42

DerJoker

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RE: Homomorphismus und abelsche Gruppe

Zitat:

Original von rrobert

Zitat:

Original von Mulder
Denn in jeder Gruppe gilt $\begin{eqnarray*} (x*y)^{-1}=y^{-1}*x^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Ich finde diesen Satz aber verwirrend: Wenn dieser Satz für alle Gruppen gilt, dann kann man annehmen, dass alle Gruppenelemente untereinander kommutieren. Das würde dann aber wiederrum bedeuten, dass jede Gruppe gleichzeitig auch eine abelsche Gruppe ist?! Klingt aber falsch... Übersehe ich hier etwas?

Wie kommst du denn darauf? Die obige Aussage sagt nur etwas über das Inverse von $\begin{eqnarray*} x*y \end{eqnarray*}$ aus. Nämlich wie dieses Inverse aussieht. Das hat aber doch nichts mit Kommutativität zu tun.

Gruß

DerJoker

02.02.2018, 12:05

rrobert

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RE: Homomorphismus und abelsche Gruppe
Danke Danke Danke!!! Ich habe es verstanden!!

Weil durch den Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi (x*y) = \varphi(x) * \varphi(y) \end{eqnarray*}$ und durch den Satz von oben die Umkehrung ebenfalls gilt, kann ich von Kommutativität ausgehen. Das habe ich nicht gesehen. Danke!

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