Höherdimensionale Gleichungen - Extrema mit Nebenbedingung

02.02.2018, 07:35

nim

Höherdimensionale Gleichungen - Extrema mit Nebenbedingung

Meine Frage:
Moin,
ich brauche bei einer Teilaufgabe hilfe. Teil 1 habe ich gelöst (siehe "meine Ideen"). Allerdings komme ich in Teil 2 auf keine vernünfitge Nebenbedingung (also wie man in einer Gleichung den Mindestabstand von 3LE zu Dorf E formuliert).

Teil 1:
Eine Gemeinde besteht aus 5 Dorfern, welche wie folgt charakterisiert sind:

Dorf - Position (x,y-Koordinaten)- Einwohner
A____________(0,0)___________________200
B____________(0,10)__________________300
C____________(8,2)___________________500
D____________(15,14)_________________150
E____________(5,5)___________________600

Es wird der Bau einer Mülldeponie im Umkreis beschlossen. Wie ist die Lage zu wahlen, um die Transportkosten zur Deponie hin moglichst gering zu halten?
Die Kosten wachsen dabei quadratisch zum Abstand der Deponie und fallen pro Einwohner an (d.h. bei einem Dorf mit n Einwohnern und einem Abstand zur Mülldeponie von s fallen fur dieses Dorf Transport-
kosten i.H.v ns^2 an).

Teil 2:
Es hat sich herausgestellt, dass es hinsichtlich den Transportkosten am
günstigsten ist, wenn die Mülldeponie in unmittelbarer Umgebung von Dorf E angelegt wird.
Die Dorfbewohner sträuben sich jedoch gegen eine Mulldeponie am Dorfrand und fordern einen gewissen Mindestabstand.
Wo musste bei einem Abstand von 3 (Längeneinheiten) zu Dorf E die Mülldeponie nun errichtet werden, um wieder die Bedingung der geringsten Transportkosten zu erfüllen?

Es ware super, wenn mir jemand sageb könnte, wie man die Nebenbedingung als Gleichung ausformulieren könnte.

Meine Ideen:
Die Lösung von Teil 1:

Kosten = Einwohnerzahl eines Dorfs * quadrierte Wurzel der x & y Koordinaten

Kosten = 200*(x^2+y^2) + 300*(x^2(10-y)^2)+......... [quadreierte Wurzel fällt raus]

Löst man das auf kommt mant tatsächlich in die unmittelbare Umgebung von E.

[sorry, bei mir funktioniert heute irgendwie der Formeleditor nicht]

02.02.2018, 10:42

HAL 9000

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Ja, sinngemäß ist der Ansatz richtig. Seriös würde man die Kostenfunktion etwa so aufschreiben

$\begin{eqnarray*} K(x,y) = \sum_{i=1}^n N_i((x-x_i)^2+(y-y_i)^2) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Dörfer ist, sowie $\begin{eqnarray*} (x_i,y_i) \end{eqnarray*}$ die Position und $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ die Einwohnerzahl des $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Dorfes. Gelöst werden muss nun in 1) das Optimierungsproblem $\begin{eqnarray*} K(x,y)\to \min \end{eqnarray*}$ . Das Ergebnis dürfte der Schwerpunkt sein, wenn man die Ausgangspunkte $\begin{eqnarray*} (x_i,y_i) \end{eqnarray*}$ mit den "Massen" $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ betrachtet. Augenzwinkern

02.02.2018, 12:58

Huggy

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RE: Höherdimensionale Gleichungen - Extrema mit Nebenbedingung

Zitat:

Original von nim
Es ware super, wenn mir jemand sageb könnte, wie man die Nebenbedingung als Gleichung ausformulieren könnte.

Man kann sich überlegen, dass unter der Nebenbedingung das Minimum auf dem Kreis um E mit Radius 3 liegen muss.

02.02.2018, 13:08

HAL 9000

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Und interessanterweise liefert die Rechnung dann denjenigen Punkt auf dem Kreis, der dem optimalen Punkt ohne diese NB (der ja hier innerhalb des Kreises ist) am nächsten liegt.

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