Lemma von Fatou für Mengen

03.02.2018, 10:34

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Lemma von Fatou für Mengen

Hallo

smile

$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist der Raum der beschränkten und rechtsstetigen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} w_x(\delta) :=\sup_{0\leq t\leq 1-\delta}\sup_{a,b\in[t,t+\delta]}|x(b)-x(a)| \end{eqnarray*}$

Wenn für $\begin{eqnarray*} \delta \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} w_x(\delta) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ , so ist x offensichtlich stetig.
Sei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bein Wahrscheinlichkeitsmaß

Ich weiß nun schon ,dass für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta_k \end{eqnarray*}$ existiert so, dass wenn $\begin{eqnarray*} A_k := \{x:w_x(\delta_k)\geq \frac{1}{k}\} \end{eqnarray*}$ , folgt $\begin{eqnarray*} P(A_k)<\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} A:=\lim\inf_k A_k \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$

Ich hatte daran gedacht, das mit dem Lemma von Fatou zu machen. Aber die $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ sind ja hier Mengen und keine messbaren Funktionen.

Ein anderer Ansatz wäre, das über die Gegenwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A)=1-P(A^c) \end{eqnarray*}$ zu machen. Aber ich weiß nicht wirklich was über $\begin{eqnarray*} P(A^c) \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank schon mal!

Liebe Grüße

Robin

03.02.2018, 11:16

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Es gilt $\begin{eqnarray*} A_k \subset A_l \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} k \geq l \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du per Definition vom liminf zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \liminf A_k \subset A_l \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ist.

03.02.2018, 11:44

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danke für deine Antwort!

Aber ich kann damit doch Fatou nicht anwenden, oder vergesse ich was?

LG

03.02.2018, 11:50

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Man könnte sich die Folge $\begin{eqnarray*} \chi^k \colon D \to \{0,1\} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \chi^k = 1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sonst definieren. Dann kann man sich fragen wie $\begin{eqnarray*} \liminf A_k \end{eqnarray*}$ sich auf $\begin{eqnarray*} \chi^k \end{eqnarray*}$ überträgt. Wenn man zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} \chi^k \end{eqnarray*}$ punktweise gegen die Charakteristische Funktion von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ konvergiert, so kann man Fataou anwenden. Ist aber alles unnötig kompliziert.

03.02.2018, 13:14

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ich sehe nur nicht, wie ich mit deiner ersten Aussage zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} P(A)=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich dass immer so sagen kann, da sich das Delta ja immer ändert.

Ich hatte mir noch Überlegt das mit Borel-Cantelli (2) für $\begin{eqnarray*} A_k^c \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Da habe ich aber das Problem, dass die $\begin{eqnarray*} A_k^c \end{eqnarray*}$ paarweise unabhängig sein müssen.

Danke und liebe Grüße!

03.02.2018, 14:42

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Du hast Recht. Es muss nicht monoton sein. Es folgt dennoch direkt mit der Definition von liminf.

Es gilt allgemein, dass $\begin{eqnarray*} P( \liminf A_n) \leq \liminf P(A_n) \end{eqnarray*}$ . Beachte, dass $\begin{eqnarray*} B_n = \bigcap_{k=n}^\infty A_k \end{eqnarray*}$ monoton wachsend in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist. Demnach ist nach Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} P ( \cup_{n =1}^\infty B_n ) = \lim_{n\to\infty} P(B_n) \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} B_n \subset A_n \end{eqnarray*}$ ist, folgt die Ungleichung.

Hoffentlich habe ich mich nicht wieder verrant.

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03.02.2018, 15:58

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Hi smile

smile

Also wenn allgemein schon $\begin{eqnarray*} P(\lim\inf_k A_k) \leq \lim\inf_k P(A_k) \end{eqnarray*}$ gilt, dann bin ich im Grunde ja schon fertig, weil das ja wie Fatou für Mengen ist.

Dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} P(A) = P(\lim\inf_k A_k) \leq \lim\inf_k P(A_k) < \lim \inf_k \frac{1}{k} = 0 \end{eqnarray*}$

Aber darum ging es ja. Ich weiß eigentlich nicht, dass $\begin{eqnarray*} P(\lim\inf_k A_k) \leq \lim\inf_kP(A_k) \end{eqnarray*}$

Kann mich nicht entsinnen das mal in Ana 3 gehört zu haben.

Liebe Grüße

03.02.2018, 16:03

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danach habe ich ja einen Beweis geliefert. Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^\infty B_n = \liminf_{k\to\infty} A_k \end{eqnarray*}$ ist.

03.02.2018, 16:55

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danke Danke!!

Ich verstehe nur noch einen Schritt nicht:

Zitat:

Original von IfindU
Demnach ist nach Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} P ( \cup_{n =1}^\infty B_n ) = \lim_{n\to\infty} P(B_n) \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn das dann so richtig ist, ist die Argumentation:

$\begin{eqnarray*} P(A)=P(\cup_{n=1}^{\infty} B_n)=....=\lim_n P(B_n) \leq \lim_n P(A_n) \leq lim_n \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$

Richtig?

Liebe Grüße

03.02.2018, 17:06

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Das ist richtig. Und der fehlende Schritt ist eine allgemeine Aussage für Maße:
Wikipedia.

03.02.2018, 17:12

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ah jetzt erinnere ich mich! Vielen Dank!

Und das ich dann am Ende nur noch mit dem Limes und nicht mehr mit dem Limes Inferior argumentiere ist mathematisch so sauber?

Weil wir ja am Anfang zeigen wollten:

$\begin{eqnarray*} P(\lim\inf_n A_n) \leq \lim\inf_n P(A_k) \end{eqnarray*}$

03.02.2018, 17:19

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ahso. Tut mir leid. Das habe ich nicht genau gesehen. Du weißt nicht, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n} P(A_n) \end{eqnarray*}$ existiert. Aber du kannst benutzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n} P(B_n) = \liminf_n P(B_n) \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \liminf_n P(B_n) \leq \liminf_n P(A_n) \end{eqnarray*}$ legitim.

Das ist hier aber nicht wichtig, weil wir rausbekommen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_n P(A_n) \end{eqnarray*}$ existiert und gleich dem Wert 0 ist. A posteriori ist das also rechtfertigbar.

03.02.2018, 17:25

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danke nochmals!

Warum gilt das:

Zitat:

Original von IfindU
Aber du kannst benutzen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n} P(B_n) = \liminf_n P(B_n) \end{eqnarray*}$ ist.

Auch wieder in den verstaubten Winkeln meiner Erinnerungen an Ana 3 oder Wikipedia? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2018, 17:33

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Nun, das ist wirklich Analysis 1.
Für jede reelle Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \liminf a_n \leq \limsup a_n \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \liminf a_n = \limsup a_n \end{eqnarray*}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim a_n = \liminf a_n = \limsup a_n \end{eqnarray*}$ . Und wenn $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, so gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} \lim a_n = \liminf a_n = \limsup a_n \end{eqnarray*}$ .

Oder noch kürzer: Falls eine Folge konvergiert, konvergiert jede Teilfolge, und das gegen den gleichen Grenzwert.

Oder: Eine konvergente Folge besitzt nur einen Häufungspunkt, und das ist sein Grenzwert. Und limsup ist größte Häufungspunkt und liminf der kleinste. Wenn es nur einen gibt, sind wieder alle Werte gleich.

03.02.2018, 17:57

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ja das verstehe ich.
villeicht stelle ich mich grade einfach nur doof an, aber ich kann doch nur sagen dass

$\begin{eqnarray*} \lim_n P_n = \lim_n\inf P_n \end{eqnarray*}$

wenn ich weiß, dass der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_n P_n \end{eqnarray*}$ existiert. Und war das nicht gerade der Punkt?

Oder ist es ok, wenn ich vor der Rechnung einmal sage, dass: $\begin{eqnarray*} \lim_n P_n = \lim_n \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und somit existiert der Grenzwert?

Liebe Grüße

03.02.2018, 18:02

IfindU

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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Das könntest du. Der Grenzwert bei $\begin{eqnarray*} P(B_n) \end{eqnarray*}$ existiert aber immer, da $\begin{eqnarray*} P(B_n) \end{eqnarray*}$ eine monotone, beschränkte Folge ist.
Und dann gilt eben mit der "punktweisen" Abschätzung $\begin{eqnarray*} P(B_n) \leq P(A_n) \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} \lim_n P(B_n) = \liminf_n P(B_n) \leq \liminf_n P(A_n) \end{eqnarray*}$ .

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