Suche Galoiserweiterung isomorph zu F9.

Neue Frage »

chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Suche Galoiserweiterung isomorph zu F9.
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Wie schon im Titel geschrieben, stehe ich vor der Aufgabe zu zeigen das es eine Galoiserweiterung gibt für die gilt .

Meine Ideen:
Ich wollte erstmal Körper suchen deren Anzahl an Elementen auch 9 ist.
Dabei hatte ich intuitiv direkt an die Kreiteilungskörper gedacht, jedoch ist mir schnell aufgefallen, dass die Anzahl der Elemente darin ja über die Eulersche Phifunktion bestimmt wird und die immer gerade ist, bzw. nie 9 ist.
Ich wüsste auch keine Einfache Vorgehensweise um irreduzible Polynome 9.Grades zu erstellen um somit vielleicht deren Zerfällungskörper als Alternative zu betrachten.
Deshalb fehlt mir grade irgendwie der Anfang wie ich hier vorgehen sollte.

Jemand ein Tipp parat?
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ist etwas anderes als . Das erstere ist ein Körper mit Elementen, das zweite ist ein Ring, der nicht einmal ein Integritätsbereich ist (denn es gilt dort ). Als additive Gruppe ist es auch nicht das Gleiche, denn in ersterem gilt und in zweiterem gilt .

Die Idee mit den Kreisteilungskörpern ist nicht so schlecht und kann weitergeführt werden. Du könntest z.B. einen Körper mit finden und dann für einen Zwischenkörper wählen, sodass die Galoisgruppe genau die gewünschte ist.
 
 
chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, du hast recht, der Titel ist dann falsch.


Aber bezüglich deines Tipps bin ich mir grad unsicher, ich hätte dann jetzt als erstes an gedacht, weil hier ja gilt da 19 eine Primzahl ist.
Aber wie kann ich nun folgern das diese Gruppe isomorph zu Z/18Z ist? Bzw. gibt es andere Wege als über die Automorphismen zu gehen, denn dies habe ich bisher noch nicht so 100%ig verstanden.

Aber wenn dies dann gelten würde, könnte ich doch damit argumentieren das Z/18Z eine Untergruppe der Ordnung 9 hat, da 9|18. Und dann muss es auch einen dazu isomorphen Unterkörper von der Ordnung 9 geben und zudem sind alle Zwischenkörper der Galoiserweiterung galoisch, also folgt die Behauptung. Soweit richtig?
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi1993
Aber bezüglich deines Tipps bin ich mir grad unsicher, ich hätte dann jetzt als erstes an gedacht, weil hier ja gilt da 19 eine Primzahl ist.


Das passt, und so war mein Hinweis gedacht. (Ich denke, mit meinst du eine primitive 19. Einheitswurzel.)

Zitat:
Original von chrissi1993
Aber wie kann ich nun folgern das diese Gruppe isomorph zu Z/18Z ist? Bzw. gibt es andere Wege als über die Automorphismen zu gehen, denn dies habe ich bisher noch nicht so 100%ig verstanden.


Wurde in eurer Vorlesung nicht die Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern erklärt? Ist eine primitive -te Einheitswurzel, so ist kanonisch isomorph zur Einheitengruppe und damit auch zu . Bei Bedarf kann ich das Ganze genauer erklären, du solltest aber zuerst mal in deinen Vorlesungsnotizen nachschauen bzw. selbst darüber nachdenken.

Zitat:
Original von chrissi1993 (leicht verändert)
Aber wenn dies dann gelten würde, könnte ich doch damit argumentieren das Z/18Z eine Untergruppe der Ordnung 9 hat, da 9|18. Und dann muss es auch einen (hier wurde etwas gelöscht) Unterkörper von vom Grad 9 über geben, der als Galoisgruppe diese Untergruppe der Ordnung 9 hat und zudem sind alle Zwischenkörper der Galoiserweiterung galoisch über , also folgt die Behauptung. Soweit richtig?


Es war etwas unpräzise, aber im Grunde genommen trifft es das, genau!
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss meinen Beitrag leicht korrigieren:

Die Galoisgruppe von ist zwar isomorph zu , aber diese Gruppe ist im Allgemeinen nicht isomorph zu . Da war ich etwas voreilig.
chrissi1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Verbesserungen!

Also diese Isomorphie war mir tatsächlich schon bekannt, nur wüsste ich nicht wie aus dann folgt, dass ?

Ich hatte mir aber auch gerade noch überlegt, dass doch Z/18Z die einzige zyklische Gruppe der Ordnung 18 ist und wir glaube ich mal bewiesen haben das zyklisch ist, somit ist dies die einzige Gruppe zu der die Galoiserweiterung isomorph sein kann, also ist sie es auch, oder liege ich da falsch?
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

Also, mein Fehler ist der gleiche, den du jetzt "fast" machst.

Halten wir mal fest, dass immer gilt:

.

Falls eine Primzahlpotenz ist, , gilt auch:
.

Für gilt:
. (Für . Aber für ist die Einheitengruppe trivial.)

Es gilt außerdem für Ringe , dass .
Im allgemeinen Fall können wir also in Primpotenzen zerlegen, mit für alle und für alle i. Dann gilt mit dem Chinesischen Restsatz:


. Je nachdem, was der Exponent von ist, muss noch die entsprechende Darstellung von eingesetzt werden.

In unserem Fall hier ist , also eine Primzahl, somit ist alles gut, und wir erhalten tatsächlich . Ich denke aber, es war gut, diese Sachen noch einmal in völliger Allgemeinheit aufzuschreiben. smile

Wir können jetzt noch explizit mit bestimmen und nicht nur abstrakt die Existenz zeigen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »