Bestimmung im(f) einer linearen Abbildung

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Elli_ Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung im(f) einer linearen Abbildung
Meine Frage:
Hallo smile
Ich würde gerne wissen, wie ich das Bild einer linearen Abbildung und die Dimension des Bildes bestimme.

Meine Ideen:
Der Kern ist klar, da muss es ja nur null gesetzt werden. Zu der Berechnung des Bildes hab ich aber gar keine Ideen.
Zur Dimension: ich habe gelesen, dass der Rang der Abbildungsmatrix gleich der Dimension des Bildes ist. Aber welcher Rang ist gemeint, der Zeilen oder Spaltenrang?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das spielt keine Rolle. Du wirst einen Satz kennenlernen, der den Begriff des rangs einer Matrix rechtfertigt.
 
 
Elli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das zufällig rk(f)=rk'(A)=dim(im(f) ??

Könnte mir bitte trotzdem noch jemand erklären, wie ich das Bild einer linearen Abbidlung bestimme?smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eigentlich, dass Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix immer identisch sind. Ansonsten wäre der Rang ja nicht eindeutig.

Was Du für diese Aufgabe aber eigentlich nur wissen musst, ist die Tatsache, dass die Spalten der Matrix den Bildraum aufspannen. Entweder habt ihr dies im Zusammenhang mit der Einführung einer Abbildungsmtarix gemacht, oder Du kannst es Dir selber überlegen, indem Du die Linearität ausnutzt und Dir Gedanken über das Bild der Basis aus Einheitsvektoren machst.
Elli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zeilenrang, sind ja die maximal K-linear unabhängigen Zeilen einer Matrix.
Der Spaltenrang die maximal K-linear unabhängigen Spalten.
Was ich nicht verstehe, wie können Zeilenrang und Spaltenrang identisch sein?


wenn wir jetzt als Beispiel eine 2x3 Matrix hätten. Die Matrix hat 2 Zeilen und 3 Spalten.
Kann ich jetzt daraus schlussfolgern, dass die Dimension des Bildes 3 ist oder ist das immer noch falsch?
Und wie rechne ich das Bild aus?

Ich verstehe es gerade wirklich nicht und bin für jede Hilfe dankbar smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang ist nicht die Anzahl der Spalten oder Zeilen, sondern die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten und nachdem, was ich oben geschrieben habe, ist diese Anzahl stets identisch.
Wie man den Rang bestimmt, hast Du schon gemacht? Stichwort Gauß-Algorithmus.

Sollte das nicht der Fall sein, wird es langsam schwierig Dir zu helfen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dies auch, wenn die anderen Stricke reissen Augenzwinkern :
Der Rang einer Matrix ist gleich der Dimension der dimensionsmäßig größtmöglichen Unterdeterminante ungleich Null, die innerhalb der Matrix gebildet werden kann.

mY+
Elli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt eine Matrix habe und die Dimension des Bildes bestimmen möchte. Könnte ich dann einfach prüfen welche der Spalten k-linear unabhängig sind und diese Anzahl wäre dann die Dimension des Bildes dieser Matrix? verwirrt
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Du hast dann nicht nur ein Erzeugendensystem, sondern eine Basis des Bildraums.
Elli_ Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich es verstanden, nochmal vielen Dank für die Hilfe smile
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