Jakobideterminante beim Kurvenintegral bzw. Satz von Green

03.02.2018, 18:04	mastersheet	Auf diesen Beitrag antworten »
Jakobideterminante beim Kurvenintegral bzw. Satz von Green Hallo liebe Community! Seit neuerstem beschäftigt mich folgende Fragen zu Jakobideterminante und wann ich diese verwenden muss. Vorweg, ich stelle diese Frage als aufgeschlüsseltes Beispiel und hoffe ihr könnte meinen Gedankengang sowie meine Frage nachvollziehen. Ich habe ein Vektorfeld gegeben mit $\begin{eqnarray} <br /> \vec{v} = \begin{pmatrix} xy^2 \\ 2y-x \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ und möchte Anhand dieses den Satz von Green-Riemann verifzieren, wobei der Bereich B eine Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius r = 2 ist. Die Definition von Satz nach Green Riemann $\begin{eqnarray} <br /> \oint P dx + Q dy = \int \int \! \bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\, dx dy <br /> \end{eqnarray}$ Ich berechnen zum einen das Kurvenintegral und weiters das Doppelintegral. Natürlich beginne ich die Lösung mit dem Kurvenintegral. Die Parametrisierung ergibt sich dementsprechend zu: $\begin{eqnarray} <br /> x(t)= \begin{pmatrix} r \cos t \\ r \sin t \end{pmatrix} 0 \leq t \leq 2 \pi <br /> \end{eqnarray}$ D. h. ich substituieren x und y durch Polarkoordinaten, leite diese einmal ab und ersetzte x und y meines Vektorfelds durch die Polarkoordinanten. Zum Schluss berechnen ich das das Skalarprodukt. $\begin{eqnarray} <br /> <v(\vec{x}(t)), \vec{\dot{x}}(t)> = <\begin{pmatrix} r^3\cos(t)\sin^2(t) \\ 2r\cos(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -r\sin(t) \\ r\cos(t) \end{pmatrix} > <br /> \end{eqnarray}$ Das sich meine Frage auf die jakobidetermiante bezieht möchte ich zwei Lösungen liefern: Die Lösung ohne Jakobideterminante $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^{2\pi} (r^3\cos(t)\sin^2(t))(-r \sin(t)) + (2r\cos(t))(r\cos(t)) dt<br /> \end{eqnarray}$ Oder mit Jakobideterminante: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^{2\pi} ((r^3\cos(t)\sin^2(t))(-r \sin(t)) + (2r\cos(t))(r\cos(t)))~ r~dt<br /> \end{eqnarray}$ Im zweiten Schritt berechne ich das Doppelintegral, auch hier wieder mit der selben Parametrisierung Jedoch diesem Mal für die Grenzen $\begin{eqnarray} <br /> 0 \leq r \leq 1 \mathrm{~~und~~} 0\leq t\leq 2 \pi<br /> \end{eqnarray}$ Auch hier wieder einmal die Lösung ohne Determinante $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \! -1 ~dr dt - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \! 2r^2 \cos(t) \sin(t) dr dt<br /> \end{eqnarray}$ Oder mit Jakobideterminante: $\begin{eqnarray} <br /> \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \! -1 r ~dr dt - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \! 2r^2 \cos(t) \sin(t) r~dr dt<br /> \end{eqnarray}$ Meine Frage dazu: Ich habe oben jeweils einmal das Integral mit und einmal ohne Jakobidetermiante angeschrieben. Da ich in beiden Fällen substutuieren, müsste ich doch im Integral (sie dazu meinene Lösungsansätze) noch die Jakobideterminante multiplizieren (wie im zweiten Läsungsvorschlag genannt, um auf das richtige Ergebnis zu kommen. Wann multipliziere ich - sowohl beim Kurvenintegral als auch beim Doppelintegral - die Jakobiterterminante? nach diesem Thread müsste ich sie nur beim Doppelintegral multiplizieren: www[dot]matheboard.de/archive/425596/thread[dot]html. Jedoch sicher bin ich mir nicht. Welche zwei, der vier o.g. Integrale sind für die gegeben Aufgabenstellung die korrekten? Bitte gebt mir eine Begründung warum ich die Jakobideterminante mitintegrieren muss bzw. warum nicht? Ich habe das nicht ganz durchblickt und weiß nicht wann sie dazugehört.
04.02.2018, 10:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Jakobideterminante beim Kurvenintegral bzw. Satz von Green Die Jacobi-Determinante (Der Mann schreibt sich mit c) ist zu verwenden, wenn man eine Variablensubstitution vornimmt. Hier $\begin{eqnarray} <br /> \oint P dx + Q dy = \int \int \! \bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)\, dx dy <br /> \end{eqnarray}$ steht auf der linken Seite erst mal nur ein symbolischer Ausdruck. Zur Berechnung dieses Ausdrucks durch ein übliches Integral muss die Kurve parametrisiert werden. Diese Parametrisierung hat nichts mit einer Substitution zu tun. Es wird ja auch nicht das Variablenpaar $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ durch ein anderes Variablenpaar $\begin{eqnarray} (u,v) \end{eqnarray}$ ersetzt, sondern nur ein einzelner Kurvenparamer eingeführt. $\begin{eqnarray} r=2 \end{eqnarray}$ ist der feste Radius des Kreises und keine Variable. Hier ist deshalb keine Jacobi-Determinante zu verwenden. Auf der rechten Seite kann man (muss man nicht) die Substitution $\begin{eqnarray} (x,y) \rightarrow (r', t) \end{eqnarray}$ machen. Dann ist die Jacobi-Determinante zu verwenden. Ich habe extra r' geschrieben statt r, um die Integrationsvariable von dem festen Radius $\begin{eqnarray} r =2 \end{eqnarray}$ zu unterscheiden. Das geht bei dir durcheinander. Übrigens hast du bei dem Kurvenintegral mit $\begin{eqnarray} v_y=2y \end{eqnarray}$ gerechnet statt mit $\begin{eqnarray} v_y=2y-x \end{eqnarray}$ .

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