Stetigkeit von (-1)^x

03.02.2018, 19:45	EvD	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von (-1)^x Hallo zusammen Ich habe eine kleine, vermutlich auch schnell zu beantwortende frage ... Ich Habe eine Funktion $\begin{eqnarray} F(x)=(-1)^x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ In meiner Vorlesung wurde behauptet es sei Stetig, wenn a) allen stellen $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ Häufungspunkte sind b) jeder Lim f(x) für $\begin{eqnarray} x \to x_0 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} f(x_0) \end{eqnarray}$ ist Beides müsste doch bei der Funktion gegeben sein ... aber sie erscheint mir nicht wirklich Stetig Habe ich was falsch gemacht, oder habe ich was nicht mit bekommen, oder ist meine Intuition falsch? Wäre nett wenn ihr mir da helfen könntet. EDIT(Helferlein): Funktion korrigiert und Folgeposting gelöscht.
03.02.2018, 20:19	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt "müsste gegeben sein"? Ich denke ich weiß, worauf du hinauswillst, aber besser, schreibe doch deine Rechnungen mit dazu. Und vielleicht gehst du sie mit dem Hinweis auf den Definitionsbereich nochmal durch
03.02.2018, 22:34	EvD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es nicht so das x ein Häufunkspunkt ist, wenn es eine Teilfolge der Funktion gibt, dessen Limes x ist? Und sind das dann nicht $\begin{eqnarray} (-1)^{2x+1} = -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-1)^{2x} = 1 \end{eqnarray}$ also sind dann -1 und 1 Häufungspunkte ... Und der Limes der Funktion gegen $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist dann wohl $\begin{eqnarray} (-1)^{x_0} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ Oder ist Stetigkeit auf $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \end{eqnarray}$ nicht definiert? ... oder muss man da was anders machen ... ich glaube ich stelle mich gerade dümmer an als ich (hoffe ich) bin xD oder gilt da was nicht für Funktionen ? Grüße EvD
04.02.2018, 14:38	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Bedingung besagt, dass jeder Punkt des Definitionsbereichs ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs sein muss. Das ist hier nicht gegeben. Ich möchte aber anmerken, dass es üblicher ist, diese Bedingung nicht zu fordern.
04.02.2018, 15:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ ist, mit der von $\begin{align} \mathbb{R} \end{align}$ induzierten euklidischen Topologie versehen, ein diskreter Raum. Das heißt, daß alle Teilmengen von $\begin{align} \mathbb{N} \end{align}$ offen sind. Daher ist jede Abbildung $\begin{align} \mathbb{N} \to \mathbb{R} \end{align}$ stetig (denn die Urbilder offener Mengen sind trivialerweise offen). Wenn dir diese Argumentationsweise nicht vertraut ist, kannst du auch mit Folgen arbeiten. Nehmen wir also ein festes $\begin{align} N \in \mathbb{N} \end{align}$ und eine Folge $\begin{align} (x_n) \end{align}$ natürlicher Zahlen mit $\begin{align} x_n \to N \end{align}$ für $\begin{align} n \to \infty \end{align}$ . Dies kann nur sein, wenn die Folge schließlich konstant ist, wenn es also ein $\begin{align} n_0 \in \mathbb{N} \end{align}$ gibt mit $\begin{align} x_n = N \end{align}$ für alle $\begin{align} n \geq n_0 \end{align}$ . Somit gilt $\begin{align} F(x_n) = (-1)^N \end{align}$ für alle $\begin{align} n \geq n_0 \end{align}$ . Trivialerweise ist dann $\begin{align} \lim_{n \to \infty} F(x_n) = (-1)^N = F(N) \end{align}$ .

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