Beweis zu DGL mit konstanten Koeffizienten

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davidrr Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu DGL mit konstanten Koeffizienten
Meine Frage:
Wir haben folgende Proposition:
[attach]46456[/attach]
Mit folgendem Beweis:
[attach]46457[/attach]
Folgende Proposition wird dabei benutzt:
[attach]46458[/attach]

Kann mir jemand erklären wie der Beweis genau funktioniert?

Meine Ideen:
Man muss meiner Ansicht nach 2 Sachen zeigen: Zuerst, dass die und linear unabhängig sind. Zum anderen sollte man noch ziegen dass diese Gleichungen wirklich die Differentialgleichung lösen. Ich stehe nun schon mehreren Studen vor dieser Aufgabe und habe schlicht keine Ahnung wie hier im Beweis vorgegangen wird.
Wieso wird überhaupt ausgerechnet.


Wie ihr seht stehe ich ziemlich auf der Leitung, wäre froh wenn Ihr mir helfen könnt.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also erstmal, der Beweis von Proposition 7.75, dass die ganzen Viecher linear unabhängig sind, ist glaube ich ziemlich untrivial. Wenn es dir um den Beweis des Satzes geht, würde ich die Proposition dafür einfach mal "glauben". Augenzwinkern

Zum Beweis des Satzes: Betrachten wir als Beispiel mal die DGL



bzw. anders geschrieben

, also mit .

Das Polynom p(x) zerfällt in Linearfaktoren gemäß . Der Satz sagt uns nun, dass es die (nach Proposition 7.75 linear unabhängigen) Lösungen gibt.

Beim Beweis passiert Folgendes:

Als erstes wird festgestellt, dass die Anzahl der Funktionen tatsächlich gleich dem Grad des Polynoms ist (Zeile 1-2). Dann wird argumentiert, dass die Funktionen die DGL erfüllen, und zwar schrittweise von unten aufbauend. Machen wir das mal am Beispiel:

-> Es gilt bzw. , also auch ;
-> und analog bzw. , also auch (Zeile 3).

-> Weiter gilt auch , wie man analog zum obigen Vorgehen nachrechnen kann. (Zeilen 4-5 - im Beweis wird wegen des allgemeinen m eine Induktion gemacht)

Also (!) gilt sogar , , . (Denn es ist ja wegen der Faktorisierung des Polynoms gerade ; und die Sache mit dem Ringhomomorphismus bedeutet gerade, dass man "so durchrechnen kann".)

Mithin sind die angegebenen Funktionen tatsächlich Lösungen der Differentialgleichung.

LG
sibelius84
 
 
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