Extrema mit mehreren Veränderlichen

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marvin101296 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema mit mehreren Veränderlichen
Guten Abend, geht um folgende Frage: Wie finde ich die Art des der Extrempunkte heraus ? ob es ein Max Min oder Sattelpunkt ist...
Folgende Aufgabe: , Untersuchen Sie, ob die Funktion relative Extrema oder Sattelpunkte besitzt und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.
Auf die Punkte bin ich gekommen indem ich die Partiellen Ableitungen gebildet habe, dann die ersten Partielle Ableitungen =0 und das LGS gelöst... dann kam ich auf P1(2,0,-20) P2(-1,1,8) P3(2,1,-19) P4(-1,0,7)
die folgenden Punkte sind richtig, allerdings weiss ich nicht wie ich auf die Art kommen.
Mein Ansatz war es die Hesse Matrix aufzustellen und die Definitheit zu überprüfen

1. Hauptminoren anschauen wenn ich dies z.B für den Punkt P4(-1,0,7) mache dann ist der erste Minor positiv und der zweite auch ist ja dann H1=6 H2=36 somit müsste es ja ein lokales Minimum sein (wenn dass was im Internet stand richtig war). Ist aber in der Lösung ein Sattelpunkt. Oder der Punkt P1(2,0,-20) ist wenn ich die determinante ausrechne -180 ein Maximum aber in der Lösung steht Minimum.

Wäre super wenn mir das einer erklären würde und eventuell für einen Punkt mir den Lösungsweg zeigt der richtig ist, hab ehrlich schon einiges probiert und wollte in der Prüfung nicht für sowas Punkte verlieren..
Liebe Grüße Marvin
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine Funktion in zwei Variablen, deren kritische Punkte drei Koordinaten haben? verwirrt
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Rechenfehler bei der Hesse-Matrix: fxx = 12x - 6, demnach kriegst du dann die richtigen Extrema
---
Ein gerechnetes Beispiel: --> http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/...ML/node136.html

@Helferlein: Die Funktion beschreibt doch eine dreidimensionale Fläche, f(x,y) = z

mY+
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos: Das ist mir schon klar. Mir ist nur neu, dass man bei den kritischen Punkten den Funktionswert mit einbezieht.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Sollten diese nicht Punkte auf der Fläche sein?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ziehe meinen Einwand zurück: Stellen mit Punkten verwechselt Ups
marvin101296 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle Antwort, kennt jemand eventuell ein Tool womit ich meine Lösungen kontrollieren kann ? z.B Bei Aufgabe wie Extremwerte mit einer Nebenbedingung oder bei Extremwertaufgaben mit mehreren veränderlichen etc
Liebe Grüße
Marvin
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme dafür meistens wolframalpha.
Wenn Du in die Eingabezeile die Funktion einträgst, bekommst Du diverse Informationen wie Graph, Nullstellen, Extermpunkte, Grenzverhalten usw.
Mit dem entsprechenden Befehl kann es auch die Nebenbedingungen berücksichtigen. (z.B. NMinimize[{x²,x>=2}] ergibt die Lösung 4 mit dem x-Wert 2)
marvin101296 Auf diesen Beitrag antworten »

Folgende Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die Funktion relative Extrema oder Sattelpunkte besitzt und bestimmen Sie diese gegebenenfalls.

f(x,y)=
Kurz und knapp: ich habe die partiellen Ableitungen gebildet, anschließend die ersten 0 gesetzt und x y und ermittelt x1= 0 x2=-1 y1=1 y2=2
folgende Punkte habe ich so ermittelt: P1 (0,1,-1) P2(-1,2,0) P3(0,2,-2) P4(-1,1,-2)
ich komme dann einfach irgendwie durcheinander wenn ich die Art bestimmen möchte...
habe es mit der Hessematrix versucht:

Mein Wissensstand: Ermittlung über die Eigenwerte oder die Hauptminoren
Eigenwerte: P1

Die Eigenwerte sind positiv wie auch negativ, also ist die Matrix indefinit ? heisst es dass es ein Sattelpunkt ist ?
Beim Punkt 2 kann man erkennen dass beide Eigenwerte negativ sind daher ist dieser Punkt ein lokales Max.
habe ich auch mit Wolframalpha überprüft nur wie man dort auch die Sattelpunkte prüft habe ich noch nicht raus gefunden habe auch auf der Seite emathhelp gesucht doch leider nichts gefunden
gibt es für die Bestimmung nicht eine Art Rezept ?
und ich wollte fragen was es bedeutet wenn bei einem Punkt in der Hesse Matrix
raus kommt ? wie soll man sowas definieren ??

Liebe Grüße und danke für die vorherigen Antworten
Marvin
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zitiere aus wikipedia:
Zitat:
Extremwerte
Mit Hilfe der Hesse-Matrix lässt sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Definitheit der Hesse-Matrix.
  • Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion.
  • Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.
  • Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion.


Wenn Du die Nullmatrix an der kritischen Stelle herausbekommst, kannst Du erst einmal nichts sagen. Schau Dir hierzu die einfachen Beispiele einmal mit ungeradem n>1 und einmal mit geradem n>2 an.
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