Matrix A aus O(3) mit det(A) = 1 => A hat Eigenwert 1

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hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix A aus O(3) mit det(A) = 1 => A hat Eigenwert 1
Meine Frage:
Matrix A aus O(3) (A orthogonale Matrix aus Mat(3x3,R))
mit det(A) = 1
=> Die Matrix A besitzt den Eigenwert 1


Meine Ideen:
Ich habe das charakteristische Polynom P(t) von A berechnet und erhalte:
P(t) = t^3 - Spur(A)*t^2 + [(a11*a22-a21*a12) + (a11*a33-a31*a13) + (a22*a33-a32*a23)]*t - det(A)

Wegen det A = 1 folgt dann:
P(t) = t^3 - Spur(A)*t^2 + [(a11*a22-a21*a12) + (a11*a33-a31*a13) + (a22*a33-a32*a23)]*t - 1

Ich weiß: Falls A überhaupt Eigenwerte e besitzt, muss gelten: |e| = 1.
Ich weiß: Da det(A) = 1, also A eine "Drehmatrix" ist, muss P(t) eine Nullstelle haben bei t = 1.

Ich setze also t = 1:
P(1) = - Spur(A) + (a11*a22-a21*a12) + (a11*a33-a31*a13) + (a22*a33-a32*a23)

Und nun stehe ich auf dem Schlauch:
P(1) muss 0 ergeben. Aber ich schaffe es nicht die Orthonormalitätsbedingungen der Spalten und Zeilen von A bzgl. des Standardskalarproduktes so zu benutzen,
dass P(1) gleich 0 ist.


PS: Wollte wie bei früheren Beiträgen bei matheboard.de LATEX benutzen, aber in der Vorschau wird dies ignoriert.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich machst Du es Dir zu schwer. Was weisst Du über die drei Eigenwerte einer orthogonalen 3x3-Matrix, außer, dass sie den Betrag eins haben?

Tip: Zwei hängen zusammen, einer lässt sich stark eingrenzen.
 
 
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte ohne hohes IC
Ja, ein komplex konjugiertes Nullstellenpaar und eine reelle Nullstelle.

Bitte bei der Begründung so tun, als ob es keine komplexen Zahlen gäbe.


Danke.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Den Zusatz verstehe ich nicht so ganz.
Wenn Du aber zwei konjugiert komplexe Eigenwerte und einen reellen hast, die alle betragsmässig eins sind, dann gilt doch
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte ohne hohes IC
Ich befinde mich in einer Welt ohne komplexe Zahlen, also in einem Zeitalter vor Geronimo Cardano.
Ich weiß also nicht was eine komplex konjugierte Zahl ist.

Ich möchte eine Lösung rein im Reellen.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich raus, denn aus rein didaktischen oder philosophoischen Gründen einen einfachen Beweis zu verkomplizieren ist nicht mein Ding.

Im übrigen hast Du in dem obigen Satz
Zitat:
Ich weiß: Da det(A) = 1, also A eine "Drehmatrix" ist, muss P(t) eine Nullstelle haben bei t = 1

doch eigentlich schon alles gesagt: 1 ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms, also ein Eigenwert. Oder ist das auch nur ein Nebensatz und keine Folgerung?
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Komplexen ist es ein Nebensatz.
Im Reellen ist es nur eine Idee.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, dann will ich mal nicht so sein: Nutze die Orthogonalitätsbedingung, um zu zeigen, dass
hilbert23 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix A aus O(3) mit det(A) = 1 => A hat Eigenwert 1
Vielen Dank für den Tipp.

Hier nun der Beweis:

Zunächst zeige ich Hilfssatz 1: det(A-E) = det(E-A):

det(A-E) = det(A-A) = det((E-)A) = det(E-)det(A) = det(E-) = det() = det(E-A) qed.

Hilfssatz2: det(A-E) = -det(E-A)
Beweis:
det(A-E) = det(-(E-A)) = det(E-A) = -det(E-A) qed.
(Hierbei habe ich die Multilinearität der Determinante verwendet)

Aus Hilfssatz 1 und 2 folgt: det(E-A) = -det(E-A) => det(E-A) = P(1) = 0
Das charakteristische Polynom P von A hat also an der Stelle 1 eine Nullstelle.
=> A hat den Eigenwert 1.

Diese Aufgabe war Teil einer Übungsaufgabe unseres LinAlII-Übungszettels.
In der übergeordneten Aufgabe soll man die Normalform einer Matrix aus O(3) bestimmen.
Da wir aber erst in einem späteren Kapitel der Vorlesung zu Normalformen von U(n) kommen,
wollte ich durch mein Beharren auf einer rellen Lösung sicherstellen, dass möglichst
gar keine Sätze aus dem Komplexen eingehen.
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