Implizite Funktionen die Zweite

05.02.2018, 20:56	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Implizite Funktionen die Zweite Hi zusammen, bei der Beantwortung einer Frage in einem anderen thread ist mir folgendes Beispiel zum Satz über implizite Funktionen eingefallen: $\begin{eqnarray} F(x,y) = y-x^2 \end{eqnarray}$ . Offenbar ist (x,y) = (0,0) eine Lösung der Gleichung F(x,y)=0. Weiter gilt $\begin{eqnarray} J_F(0,0)=\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von vollem Rang. Nun müsste doch mit dem Satz über implizite Funktionen folgen, dass es eine Umgebung des Nullpunktes gibt, wo x und y bijektiv aufeinander abgebildet werden. Ist aber ja Quatsch, weil y=x² die wohlbekannte Normalparabel ist, und in jeder Umgebung von (0,0) mit y=x² auch y=(-x)² gilt, also keine Bijektivität besteht. Oder? Ich krieg das gerade nicht geknackt, sieht irgendjemand, wo mein Denkfehler liegt? LG sibelius84 edit: ok, ich erkenne an der Jacobimatrix (0 1), dass man nach y umformen kann, aber nicht nach x. Das entspricht ja den wohlbekannten Tatsachen. Trotzdem - wo bleibt die im Satz garantierte Bijektivität?
05.02.2018, 21:36	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Implizite Funktionen die Zweite Wieso bijektiv? Der Satz ueber implizite Funktionen garantiert in Deinem Beispiel, dass man lokal um (0, 0) alle (x, y) mit F(x, y) = 0 als Graph einer Funktion y = f(x) darstellen kann. Von bijektiv ist da nicht die Rede. Weder bezueglich F noch f. Du meinst wahrscheinlich den Satz von der Umkehrabbildung. Dazu muss aber $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ von Art $\begin{eqnarray} U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ sein.
05.02.2018, 23:23	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, offene Umgebungen und eine stetig differenzierbare Abbildung, bijektiv nicht unbedingt. Danke!

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