Winkel zwischen Ebene und Gerade (+ eine Unbekannte in RV)

06.02.2018, 12:49

ypsilon.ka

Winkel zwischen Ebene und Gerade (+ eine Unbekannte in RV)

Meine Frage:
Gegeben ist im IR3 die Ebene E:z=3
Bestimmen Sie a, so dass die Gerade $\begin{eqnarray*} g:r(\lambda )= \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Ebene in einem Winkel von $\begin{eqnarray*} \alpha = 25 Grad \end{eqnarray*}$ schneidet.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist, dass ich den Normalvektor der Ebene n = (0/0/1) bestimme und dann den Aufpunkt (0/0/3) "berechne" für die Normalform der Ebene.

Danach wollte ich den Richtungsvektor der Geraden in die Normalform packen und nach a auflösen.

Leider komme ich nicht auf das richtige Ergebnis. Wo mache ich den Fehler?

Vielen Dank vorab,
Gruß

06.02.2018, 13:16

klarsoweit

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RE: Winkel zwischen Ebene und Gerade (+ eine Unbekannte in RV)
Hm. Ich weiß ja nicht, was du da machen willst. Prinzipiell brauchst du doch den Schnittwinkel von dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit der xy-Ebene oder genauer mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

06.02.2018, 14:01

ypsilon.ka

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Hey,

habe es gelöst bekommen:
(hatte mich verschrieben, der Winkel für alpha war 26 Grad)

sin(26) = |n*a|/|n|*|a|

ist ja die Formel für die Berechnung des Schnittwinkels.

Diese Formel habe ich nach a (aus dem Vektor) umgestellt und habe +- 2.63 für a.

Gruß

06.02.2018, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von ypsilon.ka
sin(26) = |n*a|/|n|*|a|

Potentiell missverständlich, wenn du sowohl den Richtungsvektor der Geraden als auch eine seiner Komponenten beide $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nennst. Es gibt schon noch ein paar mehr Buchstaben im Alphabet, das muss also nicht sein. Augenzwinkern

P.S.: Außerdem muss es $\begin{eqnarray*} \sin\left(26^{{\color{red}\circ}}\right) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sin\left(26\right) \end{eqnarray*}$ lauten. 26 Radiant wäre ein verdammt großer Winkel, mehr als 4 Vollkreisumdrehungen. Big Laugh

06.02.2018, 19:05

ypsilon.ka

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Hallo und sorry, hab das Grad-Zeichen nicht auf die Schnelle gefunden Big Laugh

Wenn ich schon in einem Matheforum unterwegs bin, sollte ich auch die Notationen beachten.

Dann der zweite Anlauf für die Leute, die ebenfalls auf dem Schlauch stehen und Hilfe brauchen:

Gegeben sei die Ebene E1

$\begin{eqnarray*} E_{1} : z=3 \end{eqnarray*}$

und die Gerade

$\begin{eqnarray*} g:\vec{r}(\lambda) = \begin{pmatrix} -6\\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Fragestellung:
Bestimmen Sie a, so dass die Gerade die Ebene in einem Winkel von $\begin{eqnarray*} \alpha = 26 \end{eqnarray*}$ ° schneidet.

Unsere Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zweier von null verschiedene Vektoren lautet:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n}*\vec{a}|}{|\vec{n}| *|\vec{a}| } \end{eqnarray*}$

Alternativ ginge auch der Cosinus, allerdings müssen 90° abgezogen werden bsp: 90° - cos(alpha)

Zurück zu unserer Formel.

Jetzt bilden wir das Skalarprodukt, des Normalvektors (n) und des Richtungsvektors (a) und multiplizieren beide Seiten mit dem Nenner des Bruchs.

Wir erhalten jetzt

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{5^{2}+2^{2}+a^{2} } *\sqrt{0^{2}+0^{2} + 1^{2} } * \sin(26 Grad) \end{eqnarray*}$

Die Wurzeln lösen wir jetzt durch Quadrieren auf und Lösen die Gleichung nach a auf. Wir erhalten:

$\begin{eqnarray*} a^{2} = (29 +a^{2}) * 0,192169 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2} = 5,5729 + 0,192169a^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,80783a^{2} = 5,5729 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{\frac{5,5729}{0,80783} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \pm 2,626519 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich konnte damit helfen! smile

Gruß

07.02.2018, 13:26

HAL 9000

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Ja, $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ kann man zumindest symbolmäßig unterscheiden. Augenzwinkern

Eine Anmerkung noch dazu:

Zitat:

Original von ypsilon.ka
Unsere Formel für die Berechnung des Schnittwinkels zweier von null verschiedene Vektoren lautet:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{|\vec{n}*\vec{a}|}{|\vec{n}| *|\vec{a}| } \end{eqnarray*}$

Alternativ ginge auch der Cosinus, allerdings müssen 90° abgezogen werden bsp: 90° - cos(alpha)

Irgendwie missverständlich formuliert:

Für den Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ zwischen Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ der Geraden und Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Ebene gilt $\begin{eqnarray*} \cos(\beta) = \frac{|\vec{n}\cdot \vec{a}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{a}|} \end{eqnarray*}$ .

Da du aber nicht $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \alpha=90^{\circ}-\beta \end{eqnarray*}$ suchst, ist wegen $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha)=\cos(\beta) \end{eqnarray*}$ deine Formel letztendlich doch richtig. Nur die Formulierung im ersten Satz des Zitats ist eben falsch.

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