Ebene anhand der Abbildungsmatrix für die Spiegelung bestimmen

06.02.2018, 13:21

MbOr

Ebene anhand der Abbildungsmatrix für die Spiegelung bestimmen

Meine Frage:
Gegeben ist die folgende Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 7 &4 & -4 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & 8 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Abbildung ist für x -> Ax die Spiegelung in R^3 an der Ebene E. Nun soll ich die Ebene E bestimmen.

Meine Ideen:
Ich kenne aus der Vorlesung die die Formel: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \Rightarrow \vec{x} -2*\frac{<\vec{x} -\vec{p0}, \vec{n}> }{| |\vec{n} | |^{2} } *\vec{n} \end{eqnarray*}$
Kann ich diese irgendwie benutzen um an meine Ebene zu kommen? Ich weiß das die Formel für die Bestimmung der Spiegelung an einer Geraden ist. Leider habe ich keine Idee wie ich von der Abbildungsmatrix auf eine Ebene kommen soll?

06.02.2018, 14:21

Helferlein

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Was passiert denn mit den Vektoren, die in der Spiegelebene liegen? Könntest Du das nutzen, um die Ebene zu berechnen? Augenzwinkern

06.02.2018, 15:34

MbOr

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Wenn die Vektoren in der Spiegelebene liegen, müssten sie ja senkrecht zu der Ebene sein, also Skalarprodukt gleich 0.
Aber wie kann ich das mithilfe der Matrix konstruieren? Ich glaube ich stehe auf dem Schlauch...

06.02.2018, 15:53

HAL 9000

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Viel einfacher denken: Vektoren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Spiegelebene müssen $\begin{eqnarray*} Ax=x \end{eqnarray*}$ erfüllen, d.h. $\begin{eqnarray*} (A-I)x=0 \end{eqnarray*}$ mit Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ . Da das für alle $\begin{eqnarray*} x\in E \end{eqnarray*}$ gelten soll, muss $\begin{eqnarray*} A-I \end{eqnarray*}$ den Rang 3-2=1 haben. Finden wir raus, ob das tatsächlich der Fall ist...

Falls ja: Der eine unabhängige Zeilenvektor von $\begin{eqnarray*} A-I \end{eqnarray*}$ taugt dann auch gleich als Normalenvektor von Ebene $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ .

Und falls nein: Dann stimmt die Aussage nicht, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine solche Spiegelungsmatrix ist (wollen wir mal nicht hoffen). Augenzwinkern

06.02.2018, 16:20

MbOr

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Ich habe mal nachgerechnet und ich komme darauf, dass es nur eine Zeilenunahängigen Vektor gibt.
Die Aufgabe muss aber trotzdem zu lösen sein, da es sich hier um eine alte Klasusuraufgabe handelt. verwirrt

Ich habe aber gerade bemerkt, dass es eine symmetrische Matrix ist, kann ich da etwas mit anfangen?

06.02.2018, 16:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von MbOr
Ich habe mal nachgerechnet und ich komme darauf, dass es nur eine Zeilenunahängigen Vektor gibt.
Die Aufgabe muss aber trotzdem zu lösen sein

So richtig aufmerksam hast du meinen Beitrag nicht gelesen, denn das "aber" ist komplett deplatziert: Genau ein unabhängiger Vektor ist doch genau das erwartete!!! Forum Kloppe

06.02.2018, 16:47

MbOr

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Sorry, jetzt habe ich mich vertan. Wenn ich dich richtig verstanden haben, müsste ich 2 Zeilen aus meiner Matrix "streichen" dürfen. Das ist aber leider nicht der Fall.

06.02.2018, 17:45

HAL 9000

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Dann hast du dich verrechnet, denn es geht tatsächlich:

$\begin{eqnarray*} A-I = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -2 &4 & -4 \\ 4 & -8 & 8 \\ -4 & 8 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die zweite Zeile ist das (-2)-fache und die dritte Zeile das 2-fache der ersten Zeile!

06.02.2018, 20:38

MbOr

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Ja ich habe mich verrechnet, ich habe die 1/9 nicht beachtet! Hammer

Vielen Dank für die Hilfe!

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