Schwache Konvergenz von Maßen

06.02.2018, 19:40

Robin@Cantelli

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Schwache Konvergenz von Maßen

Hallo,

Seinen $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ Mengen mit $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_n, P n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sind Wahrscheinlichkeitsmaße.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} P_n\Longrightarrow P \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} P_n \end{eqnarray*}$ konvergiert schwach (wakly) gegen $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ), also gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_n \int fdP_n = \int fdP \end{eqnarray*}$ für alle stetigen beschränkten Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage:

Warum gilt, dass

$\begin{eqnarray*} P(B)\leq \lim \inf P_n(A) \end{eqnarray*}$ ?

Danke für eure Hilfe!

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

07.02.2018, 08:21

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Das gilt im Allgemeinen nicht. Aber ich denke du verheimlichst uns was die Topologie auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ist.

07.02.2018, 10:56

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Guten Morgen!

Danke für deine Antwort! Da es sich um einen Seminarvortrag handelt, muss ich mal schauen, dass ich dich mit allen nötigen Informationen versorge Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also es sei $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ der Raum der rechtstetigen beschränkten Funktionen auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Seinen $\begin{eqnarray*} x,y \in D \end{eqnarray*}$ so das $\begin{eqnarray*} y \in B \end{eqnarray*}$ eine bestimmte Eigenschaft hat, und $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ eine bestimmte Eigenschaft hat. Ich schreibe die Eigenschaften noch mal unten auf, weiß aber nicht, ob die wirklich helfen.

Deshalb würde ich behaupten, dass $\begin{eqnarray*} P_n, P \end{eqnarray*}$ Maße auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sind und $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ messbare Mengen

Ja es existiert tatsächlich eine Topologie auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Die Skorohod Topologie. Diese wird induziert durch die Metrik $\begin{eqnarray*} d(x,y) := \inf\{\epsilon > 0 : \exists\lambda \in \Lambda \text{ so dass } \sup_t |\lambda(t)-t|\leq \epsilon \text{ und } \sup_t |x(t)-y(\lambda(t))|\leq \epsilon\} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \Lambda := \{f: [0,1] \rightarrow [0,1]: f \text{ ist streng monoton und stetig }\} \end{eqnarray*}$

Eigenschaften:

$\begin{eqnarray*} w_x(\delta) := \sup_{0\leq t \leq 1-\delta}\sup_{a,b \in [t,t+\delta]} |x(a)-x(b)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B:= \{y:w_y(\frac{1}{2}\delta) \geq 2\epsilon \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A:= \{x:w_x(\delta)\geq \epsilon\} \end{eqnarray*}$

07.02.2018, 11:17

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ich überlasse dir erst einmal das Feld:

Die grobe Idee ist. Die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist "viel" kleiner als $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
Es gibt eine stetige, beschränkte Funktion $\begin{eqnarray*} f\colon D \to [0,1] \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f = 1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ auf dem Komplement von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . (Das ist zu zeigen!)
Dann ist
$\begin{eqnarray*} P(B) \leq \int_D f dP = [...] \end{eqnarray*}$ .
Hier muss man die Konvergenz benutzen und noch etwas abschätzen.

07.02.2018, 17:47

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Danke noch mal!
Also ich bekomme da nichts valides hin. Hast du noch einen Tipp oder eine Idee?

Liebe Grüße smile

smile

07.02.2018, 17:53

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Du wirst schon sagen müssen was du versucht hast und woran es scheitert. Es bringt nichts wenn ich 2 Seiten Erklärungen schreibe, nur damit du mit "Das wusste ich schon, das Problem liegt woanders" antwortest Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.02.2018, 18:29

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
True Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also mit dem was du gesagt hast habe ich einen Ansatz. Was mit dafür aber noch fehlt, ist dass der Abschluss von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen liegt. Dann bin ich mit dem Lemma von Urysohn Zuhause Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du ne Idee wie ich das möglicherweise sauber zeige?

Liebe Grüße und vielen Dank!

07.02.2018, 18:37

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ich würde zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ positiven Abstand zum Komplement von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hat. Ich würde vermuten der Abstand ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Wenigstens sind die Namen in den Mengen und in der Metrik passend gewählt. D.h. du musst argumentieren, warum für Werte kleiner als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ existiert, das Funktionen in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^c \end{eqnarray*}$ "verbindet". Sollte man über Widerspruch schön machen können.

07.02.2018, 19:06

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Danke noch mal! Ich versuche mich mal!
Mir ist noch eingefallen, dass $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ unter der Metrik separabel ist. Komme ich damit schneller zum Ziel?

Liebe Grüße smile

smile

07.02.2018, 19:08

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ich wüsste nicht wie. Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ viel größer als $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist. Dafür musst du die Definition der Mengen benutzen. Das kann keine abstrakte Eigenschaft des umgebenden Raumes sein.

07.02.2018, 19:20

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Also ich drehe mich irgendwie im Kreis....

Ich weiß nicht so recht, wie ich die Eigenschaft der Menge

$\begin{eqnarray*} A^c :=\{x:w_x(\delta)< \epsilon\} \end{eqnarray*}$ mit der Metrik zusammenfügen soll.

Sorry, aber ich bin gerade echt verzweifelt unglücklich

unglücklich

07.02.2018, 19:31

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Also sei $\begin{eqnarray*} x\in A^c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in B \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} d (x,y ) = \inf\{\epsilon > 0 : \exists\lambda \in \Lambda \text{ so dass } \sup_t |\lambda(t)-t|\leq \epsilon \text{ und } \sup_t |x(t)-y(\lambda(t))|\leq \epsilon\} \end{eqnarray*}$ .

Nun wissen wir, da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist, dass es irgendwo auf einem Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} \delta/2 \end{eqnarray*}$ um $\begin{eqnarray*} 2\epsilon \end{eqnarray*}$ variiert.
Wählen wir $\begin{eqnarray*} \epsilon_0 < \min (\delta, \epsilon) \end{eqnarray*}$ . Behauptung: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \Lambda \text{ so dass } \sup_t |\lambda(t)-t|\leq \epsilon_0 \text{ und } \sup_t |x(t)-y(\lambda(t))|\leq \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

Die Idee sollte jetzt sein: Nehmen uns das Intervall, wo $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ stark wächst. Weil $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ nahe an der Identität ist, wächst auch $\begin{eqnarray*} y \circ\lambda \end{eqnarray*}$ dort stark. Aber wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nirgendwo stark wächst. Und wir bekommen, dass $\begin{eqnarray*} \sup_t |x(t)-y(\lambda(t))|\leq \epsilon_0 \end{eqnarray*}$ .

So viel zur Idee. Ich habe es ehrlich gesagt nicht durchgerechnet, aber es scheint mir plausibel.

07.02.2018, 19:43

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Das sieht gut aus!

Nur warum nimmst du beim $\begin{eqnarray*} \min(\delta,\epsilon) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ dazu?

LG

07.02.2018, 19:57

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ach uns müsste es bei der letzten Ungleichung nicht genau andersherum sein? smile

smile

also $\begin{eqnarray*} \sup_t|x(t)-y(\lambda(t))|>\epsilon \end{eqnarray*}$

LG

07.02.2018, 20:22

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Natürlich, ein Tippfehler. Und delta weil ich ich wollte, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ so nahe an der Identität ist, dass man den Anstieg von $\begin{eqnarray*} y\circ \lambda \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abschätzen kann. Und weil $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ den Anstieg auf einem Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ annimmt, habe ich es mal dazu genommen.

Wie gesagt, nicht durchgerechnet. Vielleicht überflüssig. Vielleicht nicht ausreichend. Aber du musst ja auch noch etwas machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2018, 21:13

Robin@Cantelli

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Super danke!

Ich hatte eben noch eine Idee um diese Ungleichung (das worum es ja eigentlich hier geht) zeigen kann. Da es aber sehr einfach ist, glaube ich, dass ich möglicherweise etwas nicht beachte und würde gerne wissen was Augenzwinkern

Augenzwinkern

wegen der schwachen Konvergenz gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \lim_n \int_D fdP_n \rightarrow \int_D fdP \text{ für alle } f \in C^B \end{eqnarray*}$

Wähle $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{1}_B \leq f \leq \mathbb{1}_A \end{eqnarray*}$

dann gilt:

$\begin{eqnarray*} P(B)\leq \int_D fdP = \lim_n \int_D fdP_n \leq \lim_n \int_D \mathbb{1}_A dP_n = \lim \inf_n \int_D \mathbb{1}_A dP_n = \lim \inf_n P_n(A) \end{eqnarray*}$

Danke schon mal! smile

smile

08.02.2018, 08:44

IfindU

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RE: Schwache Konvergenz von Maßen

Zitat:

Original von Robin@Cantelli
$\begin{eqnarray*} P(B)\leq \int_D fdP = \lim_n \int_D fdP_n \leq {\color{red}\lim_n \int_D \mathbb{1}_A dP_n} = \lim \inf_n \int_D \mathbb{1}_A dP_n = \lim \inf_n P_n(A) \end{eqnarray*}$

Sieht gut aus. Aber du weisst nicht, dass der rote Grenzwert existiert. Wenn du lim durch liminf ersetzen willst, mache es einen Schritt vorher mit dem $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

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