Schwache Konvergenz von Maßen

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Schwache Konvergenz von Maßen
Hallo,

Seinen Mengen mit und sind Wahrscheinlichkeitsmaße.

Es gilt: ( konvergiert schwach (wakly) gegen ), also gilt
für alle stetigen beschränkten Funktionen .


Meine Frage:

Warum gilt, dass

?

Danke für eure Hilfe!

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Das gilt im Allgemeinen nicht. Aber ich denke du verheimlichst uns was die Topologie auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ist.
 
 
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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Guten Morgen!


Danke für deine Antwort! Da es sich um einen Seminarvortrag handelt, muss ich mal schauen, dass ich dich mit allen nötigen Informationen versorgeAugenzwinkern

Also es sei der Raum der rechtstetigen beschränkten Funktionen auf .

Seinen so das eine bestimmte Eigenschaft hat, und eine bestimmte Eigenschaft hat. Ich schreibe die Eigenschaften noch mal unten auf, weiß aber nicht, ob die wirklich helfen.

Deshalb würde ich behaupten, dass Maße auf sind und messbare Mengen

Ja es existiert tatsächlich eine Topologie auf . Die Skorohod Topologie. Diese wird induziert durch die Metrik
mit

Eigenschaften:





IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ich überlasse dir erst einmal das Feld:

Die grobe Idee ist. Die Menge ist "viel" kleiner als .
Es gibt eine stetige, beschränkte Funktion , so dass auf und auf dem Komplement von . (Das ist zu zeigen!)
Dann ist
.
Hier muss man die Konvergenz benutzen und noch etwas abschätzen.
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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Danke noch mal!
Also ich bekomme da nichts valides hin. Hast du noch einen Tipp oder eine Idee?

Liebe Grüßesmile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Du wirst schon sagen müssen was du versucht hast und woran es scheitert. Es bringt nichts wenn ich 2 Seiten Erklärungen schreibe, nur damit du mit "Das wusste ich schon, das Problem liegt woanders" antwortest Augenzwinkern
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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
True Augenzwinkern

Also mit dem was du gesagt hast habe ich einen Ansatz. Was mit dafür aber noch fehlt, ist dass der Abschluss von in offen liegt. Dann bin ich mit dem Lemma von Urysohn ZuhauseAugenzwinkern

Hast du ne Idee wie ich das möglicherweise sauber zeige?

Liebe Grüße und vielen Dank!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ich würde zeigen, dass positiven Abstand zum Komplement von hat. Ich würde vermuten der Abstand ist . Wenigstens sind die Namen in den Mengen und in der Metrik passend gewählt. D.h. du musst argumentieren, warum für Werte kleiner als kein existiert, das Funktionen in und "verbindet". Sollte man über Widerspruch schön machen können.
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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Danke noch mal! Ich versuche mich mal!
Mir ist noch eingefallen, dass unter der Metrik separabel ist. Komme ich damit schneller zum Ziel?

Liebe Grüßesmile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ich wüsste nicht wie. Du willst zeigen, dass viel größer als ist. Dafür musst du die Definition der Mengen benutzen. Das kann keine abstrakte Eigenschaft des umgebenden Raumes sein.
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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Also ich drehe mich irgendwie im Kreis....

Ich weiß nicht so recht, wie ich die Eigenschaft der Menge

mit der Metrik zusammenfügen soll.

Sorry, aber ich bin gerade echt verzweifeltunglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Also sei und .
Dann ist .

Nun wissen wir, da in ist, dass es irgendwo auf einem Intervall der Länge um variiert.
Wählen wir . Behauptung: Es gibt kein .

Die Idee sollte jetzt sein: Nehmen uns das Intervall, wo stark wächst. Weil nahe an der Identität ist, wächst auch dort stark. Aber wir wissen, dass nirgendwo stark wächst. Und wir bekommen, dass .

So viel zur Idee. Ich habe es ehrlich gesagt nicht durchgerechnet, aber es scheint mir plausibel.
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RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Das sieht gut aus!

Nur warum nimmst du beim , dazu?

LG
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Ach uns müsste es bei der letzten Ungleichung nicht genau andersherum sein?smile

also


LG
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Natürlich, ein Tippfehler. Und delta weil ich ich wollte, dass so nahe an der Identität ist, dass man den Anstieg von durch abschätzen kann. Und weil den Anstieg auf einem Intervall der Länge annimmt, habe ich es mal dazu genommen.

Wie gesagt, nicht durchgerechnet. Vielleicht überflüssig. Vielleicht nicht ausreichend. Aber du musst ja auch noch etwas machen Augenzwinkern
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Super danke!

Ich hatte eben noch eine Idee um diese Ungleichung (das worum es ja eigentlich hier geht) zeigen kann. Da es aber sehr einfach ist, glaube ich, dass ich möglicherweise etwas nicht beachte und würde gerne wissen wasAugenzwinkern


wegen der schwachen Konvergenz gilt ja:




Wähle so, dass

dann gilt:



Danke schon mal!smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Konvergenz von Maßen
Zitat:
Original von [email protected]


Sieht gut aus. Aber du weisst nicht, dass der rote Grenzwert existiert. Wenn du lim durch liminf ersetzen willst, mache es einen Schritt vorher mit dem .
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