Vektor bestimmen, damit gegebene Vektoren Linear unabhängig/abhängig sind

06.02.2018, 23:09

Moritary

Vektor bestimmen, damit gegebene Vektoren Linear unabhängig/abhängig sind

Hallo zusammen,

ich schreibe morgen eine Klausur und wenn ich mir die Altklausuren so anguck, scheint unser Prof für folgenden Aufgabentyp ein Faible zu haben: Gegeben sind drei Vektoren z.B. $\begin{eqnarray*} x=[1,2,0,0], y=[0,3,0,0], z=[0,0,0,1] \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist jeweils ein weiterer Vektor (nennen wir ihn mal $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ),sodass x,y,z, und a linear unabhängig bzw. linear abhängig sind. Grundsätzlich ist mir schon klar, was bei einer solchen Aufgabe gefragt ist: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ muss so gewählt werden, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1 * x + \lambda_2 *y +\lambda_3 *z +\lambda_4 * a =0 \end{eqnarray*}$ nur mit $\begin{eqnarray*} \lambda_1=...= \lambda_4=0 \end{eqnarray*}$ lösbar ist (bzw. nicht, wenn sie linear abhängig sein sollen)

Irgendwie ist mir aber nicht so ganz klar, wie man bei einer solchen Aufgabe sinnvoll und systematisch vorgehen kann. Meistens schreib ich mir die Gleichung auf, aber irgendwie erkenn ich da nie einen sinnvollen "Zusammenhang" zwischen den einzelnen Vektoren..und wildes ausprobieren im Kopf funktioniert bei mir eher selten. Gibt es irgendein Schema, wie man relativ schnell auf die Lösung für so eine Aufgabe kommen kann?

Danke schon einmal smile

PS: Ja, ich weiß, ich kann die Vektoren auch als Matrix schreiben und dann die Determinante bestimmen, und so an die Werte für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kommen. Allerdings würde das wohl relativ lang dauern und für solche Aufgaben wird in unseren Klausuren kaum Zeit eingerechnet. Außerdem wäre es nicht viel mehr als ausprobieren, da eine Gleichung mit 4 unbekannten..

06.02.2018, 23:17

Helferlein

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Wenn alle seine Beispiele so einfach wie das obige sind, ist das ein Geschenk von ihm.
Schau Dir die drei Vektoren doch einmal an: Alle drei haben in der dritten Koordinate eine Null. Was muss der gesuchte Vektoren demnach erfüllen, um linear unabhängig zu sein?

06.02.2018, 23:42

Moritary

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Zitat:

Original von Helferlein Was muss der gesuchte Vektoren demnach erfüllen, um linear unabhängig zu sein?

Die 3. Koordinate muss ungleich 0 sein..und wenn das gegeben ist ist, ist es für die anderen 3 Einträge eigentlich vollkommen wumpe, was da steht, da die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ trotzdem nie aufgehen würde.. (war das jetzt richtig?^^)

Und ich Idiot versuch da Werte für alle 4 Koordinaten zu finden.. Finger1

06.02.2018, 23:55

Helferlein

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Richtig. Du kannst also irgendeinen Vektor $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}x\\y\\1\\z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen, oder auch beliebige Vielfache davon (ausgenommen der Nullvektor).

07.02.2018, 00:11

Moritary

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Zitat:

Original von Helferlein
Richtig. Du kannst also irgendeinen Vektor $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}x\\y\\1\\z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen, oder auch beliebige Vielfache davon (ausgenommen der Nullvektor).

Vielen, vielen Dank!! Gott

Aber mal angenommen die Beispiele in der Klausur sind nicht so einfach und eine derartige "Nullzeile" wie hier jeweils die 3. Koordinaten gibt es nicht. Gibt es dann ein allgemeines schematisches Vorgehen, an das man sich halten kann?

07.02.2018, 00:47

Helferlein

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Ich würde dann die drei Vektoren als Matrix in eine Zeilenstufenform bringen. Das sollte auch recht schnell gehen.