Laurentreihe

07.02.2018, 12:24	tralalala	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe Meine Frage: Ich soll die Laurentreihe für die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{(z-2)(z+3)} \end{eqnarray}$ für a) im "Kreisring" 0<\|z-2\|<5 b) im Gebiet \|z-2\|>5 aufstellen. Meine Ideen: Ich habe jetzt erstmal die Funktion mittels Partialbruchzerlegung in Summen aufgespalten. Als Ergebnis bekomme ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{5(z-2)} -\frac{1}{5(z+3)} \end{eqnarray}$ . Anschließend habe ich die einzelnen Terme als geometrische Reihen entwickelt und erhielt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{5}(\frac{1}{-2}\frac{1}{1+\frac{z}{-2}} -\frac{1}{3}\frac{1}{1+\frac{z}{3}}) \end{eqnarray}$ . Ich weiß jetzt allerdings nicht wie ich weitermachen soll.
07.02.2018, 13:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Entwicklungspunkt ist hier aber nicht 0, sondern 2. Insofern hilft die so von dir geschriebene Umformung nicht so viel. Passender ist $\begin{eqnarray} f(z) = \frac{1}{(z-2)(z+3)} = \frac{1}{5(z-2)} - \frac{1}{5(z+3)} = \frac{1}{5(z-2)} - \frac{1}{25}\cdot \frac{1}{1+\frac{z-2}{5}} = \frac{1}{5(z-2)} - \frac{1}{25}\cdot \frac{\frac{5}{z-2}}{1+\frac{5}{z-2}} \end{eqnarray}$ . Das mittlere ist für $\begin{eqnarray} 0<\|z-2\|<5 \end{eqnarray}$ und das letztere in Hinblick $\begin{eqnarray} \|z-2\|>5 \end{eqnarray}$ gedacht. P.S.: Beim ersten Summanden $\begin{eqnarray} \frac{1}{5(z-2)} \end{eqnarray}$ gibt es nichts zu entwickeln, der hat bereits "Endform" im Laurent-Sinn.
07.02.2018, 16:56	tralalala	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank schon mal für die Antwort. Das heißt also, weil mein Entwicklungspunkt 2 ist muss ich die einzelnen Terme alle in eine Form bringen in der $\begin{eqnarray} \frac{1}{z-2} \end{eqnarray}$ auftaucht? Mir ist allerdings noch nicht ganz klar, wie man von $\begin{eqnarray} -\frac{1}{5(z+3)} \end{eqnarray}$ auf den Ausdruck $\begin{eqnarray} -\frac{1}{25}\frac{1}{1+\frac{z-2}{5} } \end{eqnarray*}$ kommt.
07.02.2018, 17:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -\frac{1}{5(z+3)} = -\frac{1}{5((z-2)+5)} = -\frac{1}{25}\cdot \frac{1}{\frac{z-2}{5}+1} \end{eqnarray}$ . Wenn es dir hilft, weil du so sehr an Entwicklungspunkt 0 gewöhnt bist, dann substituiere (zumindest temporär) $\begin{eqnarray} z=u+2 \end{eqnarray}$ : Denn $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Entwicklungspunkt 2 entspricht dann $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ -Entwicklungspunkt 0, und vielleicht fällt dir dann $\begin{eqnarray} -\frac{1}{5(z+3)} = -\frac{1}{5(u+5)} = -\frac{1}{25}\cdot \frac{1}{\frac{u}{5}+1} \end{eqnarray}$ leichter... Und am Ende dann rücksubstituieren.

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