Obersumme Untersumme Umkehrfunktion

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Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »
Obersumme Untersumme Umkehrfunktion
Meine Frage:
Seinen a<b, c<d und f:R->R eine stetige streng wachsende Funktion mit f([a,b])=[c,d]. Zeigen Sie : Wenn O eine Obersumme für f auf [a,b] ist, dann ist (bd-ac)-O eine Untersumme für f^(-1) auf [c,d]

Meine Ideen:
Geometrisch finde ich kann man es sich leicht klar machen, ich weiss nur nicht so recht wie ich es aufschreiben soll. (bd-ac) ist die Fläche in [a,b] zwischen Graph und Abszisse und in [c,d] zwischen Graph und Ordinate. Angenommen f(x) ist die Ausgangsfunktion und f(y) ist die Umkehrfunktion, dann muss ja zumindest gelten f(x)=y und f(y)=x ansonsten würden Obersumme und Untersumme nicht senkrecht "übereinander" liegen. Aber wie schreibe ich es jetzt richtig auf? Wäre dankbar über einen Tritt in die richtige Richtung.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst nicht umhin kommen, eine Reihe von Bezeichnungen einzuführen:

1) x-Intervalleinteilung in n Intervalle via mit zugehörigen Funktionswerten .

Wegen der strengen Monotonie gilt dann , wegen zusätzlich auch noch und .

2) Wie sieht dann die -Obersumme bei der -Intervallaufteilung 1) aus?

3) Und wie sieht die -Untersumme bei der sich in 1) ergebenden -Intervallaufteilung aus? Dabei kann man nutzen, dass auch streng monoton wachsend ist.
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »





Dann ist die Obersumme:


Und für die Untersumme schon mit :
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und die sup/inf kannst du direkt angeben:

Bei einer streng monoton wachsenden Funktionen findet man den maximalen Funktionswert am rechten Intervallende, es ist daher .

Entsprechend findet man bei einer streng monoton wachsenden Funktion den minimalen Funktionswert am linken Intervallende, es ist somit .

Dies beides eingesetzt kannst du dann O+U berechnen und vereinfachen.
Jekyllvshyde Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh ja, das geht auf, danke für die schnelle Hilfe smile
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