Obersumme Untersumme Umkehrfunktion |
08.02.2018, 10:29 | Jekyllvshyde | Auf diesen Beitrag antworten » |
Obersumme Untersumme Umkehrfunktion Seinen a<b, c<d und f:R->R eine stetige streng wachsende Funktion mit f([a,b])=[c,d]. Zeigen Sie : Wenn O eine Obersumme für f auf [a,b] ist, dann ist (bd-ac)-O eine Untersumme für f^(-1) auf [c,d] Meine Ideen: Geometrisch finde ich kann man es sich leicht klar machen, ich weiss nur nicht so recht wie ich es aufschreiben soll. (bd-ac) ist die Fläche in [a,b] zwischen Graph und Abszisse und in [c,d] zwischen Graph und Ordinate. Angenommen f(x) ist die Ausgangsfunktion und f(y) ist die Umkehrfunktion, dann muss ja zumindest gelten f(x)=y und f(y)=x ansonsten würden Obersumme und Untersumme nicht senkrecht "übereinander" liegen. Aber wie schreibe ich es jetzt richtig auf? Wäre dankbar über einen Tritt in die richtige Richtung. |
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08.02.2018, 10:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du wirst nicht umhin kommen, eine Reihe von Bezeichnungen einzuführen: 1) x-Intervalleinteilung in n Intervalle via mit zugehörigen Funktionswerten . Wegen der strengen Monotonie gilt dann , wegen zusätzlich auch noch und . 2) Wie sieht dann die -Obersumme bei der -Intervallaufteilung 1) aus? 3) Und wie sieht die -Untersumme bei der sich in 1) ergebenden -Intervallaufteilung aus? Dabei kann man nutzen, dass auch streng monoton wachsend ist. |
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08.02.2018, 11:12 | Jekyllvshyde | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann ist die Obersumme: Und für die Untersumme schon mit : |
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08.02.2018, 11:26 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, und die sup/inf kannst du direkt angeben: Bei einer streng monoton wachsenden Funktionen findet man den maximalen Funktionswert am rechten Intervallende, es ist daher . Entsprechend findet man bei einer streng monoton wachsenden Funktion den minimalen Funktionswert am linken Intervallende, es ist somit . Dies beides eingesetzt kannst du dann O+U berechnen und vereinfachen. |
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08.02.2018, 11:48 | Jekyllvshyde | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ohh ja, das geht auf, danke für die schnelle Hilfe |
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