Mengen, Abbildungen

08.02.2018, 18:16	Julia M2M2	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen, Abbildungen Seien A und B Mengen und sei f: A-> B rinr beliebige Abbildung von A nach B. $\begin{eqnarray} B_{n}, n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , seien beliebige Teilmengen von B. Man zeige: a) $\begin{eqnarray} f^{-1} (\varnothing) =\varnothing \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f^{-1} (\cap_{n \in \mathbb N } B_{n} )=\cap _{n \in \mathbb N } f^{-1} (B_{n} ) \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f^{-1} (\cup_{n \in \mathbb N } B_{n} )=\cup _{n \in \mathbb N } f^{-1} (B_{n} ) \end{eqnarray}$ Brauche Hilfe. a) Kann das Urbild der leere Menge leer sein? Nein oder? Ist die Aussage wahr: "Das Urbild der leeren Menge ist die leere Menge"?
08.02.2018, 21:35	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Julia, per definitionem gilt $\begin{eqnarray} f^{-1}(\emptyset)=\{a\in A\,\vert\,f(a)\in\emptyset\} \end{eqnarray}$ . Kannst du ein Element dieser Menge angeben? Wenn nein, warum nicht? LG sibelius84
09.02.2018, 15:45	Julia M2M2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sibelius84 , ich kann kein element dieser Menge angeben, weil die Menge leer s ist. richtig? wie gehe ich mit b und c um? Danke
09.02.2018, 16:20	Julia M2M2	Auf diesen Beitrag antworten »
also zu a) $\begin{eqnarray} f(a) \in \varnothing \end{eqnarray}$ ist nicht möglich, denn f(a) kann nicht element von "nichts" sein, da "nichts" leer ist. So verstehe ich das. ist für b) dann (laut Definition): $\begin{eqnarray} f^{-1} (\cap B_{n}) =\left\{ a \in A \| f(a) \in \cap B_{n} \right\} \end{eqnarray}$ ... und wie mache ich weiter?
09.02.2018, 18:37	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \ldots \; = \{a\in A \,\vert\, \forall \, n \in \mathbb N:\, f(a)\in B_n\} \end{eqnarray}$ Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, ist übrigens häufig das Prinzip der wechselseitigen Inklusion nützlich. Nach dem Schema: Beh.: A = B Bew.: $\begin{eqnarray} \underline{\subseteq \:}\, \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ . Dann .... . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} a\in B \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \underline{\supseteq \:}\, \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} b\in B \end{eqnarray}$ . Dann .... . Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} b\in A \end{eqnarray}$ . Versuch's mal, vielleicht geht es damit leichter!

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