Zwei Ortskurven; eine passt nicht

09.02.2018, 10:22	hamounmov	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Ortskurven; eine passt nicht Meine Frage: Hallo, ich habe die Kurvenschar $\begin{eqnarray} ft(x)=\frac{x^2+4x+t}{x-1} \end{eqnarray}$ gegegeben. Meine Ideen: Als Extrema habe ich berechnet: $\begin{eqnarray} T(1+\sqrt{5+t} \| \frac{10+2t+6\sqrt{5+t}}{\sqrt{5+t}}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} H(1-\sqrt{5+t} \| \frac{10+2t-6\sqrt{5+t} }{-\sqrt{5+t} } \end{eqnarray}$ Beide Extrema habe ich mit GeoGebra überprüft. Daraus habe ich dann einmal die Ortskurve mithilfe des Tiefpunkts berechnet: $\begin{eqnarray} ot(x)=2x+4 \end{eqnarray}$ -> Diese Ortskurve ist laut GeoGebra korrekt. Allerdings passt die Ortskurve, die ich mithilfe des Hochpunktes berechnet habe, nicht: $\begin{eqnarray} oh(x)=-2x+8 \end{eqnarray}$ Anbei sieht man in grün ot(x) und in rot oh(x).
09.02.2018, 10:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Andere, vereinfachte Darstellung der Extrempunkte: $\begin{eqnarray} T(1+\sqrt{5+t} \mid 2\sqrt{5+t}+6) \end{eqnarray}$ , dazu gehört $\begin{eqnarray} o_t(x)=2x+4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(1-\sqrt{5+t} \mid -2\sqrt{5+t}+6) \end{eqnarray}$ , dazu gehört ebenfalls $\begin{eqnarray} o_h(x)=2x+4 \end{eqnarray}$ Anzumerken ist, dass das mit den Extrempunkten nur für $\begin{eqnarray} t>-5 \end{eqnarray}$ stimmt: Für $\begin{eqnarray} t<-5 \end{eqnarray}$ besteht die Funktion aus zwei streng monoton wachsenden Teilästen, durch die Polstelle bei x=1 unterbrochen. Für $\begin{eqnarray} t=-5 \end{eqnarray}$ haben wir die lineare Funktion $\begin{eqnarray} f_{-5}(x) = x+5 \end{eqnarray}$ mit stetig hebbarer Definitionslücke bei x=1.
09.02.2018, 10:42	hamounm	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für die Antwort, hatte vergessen zu erwähnen, dass die Funktion nur für t>0 untersucht werden soll. Ich verstehe allerdings immer noch nicht, was meine zweite berechnete Ortskurve aussagt.
09.02.2018, 10:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -2x+8 \end{eqnarray}$ ist ganz einfach keine Ortskurve, du hast dich verrechnet. $\begin{eqnarray} o_h(x)=2x+4 \end{eqnarray}$ ist durchaus kein Copy+Paste-Error, sondern es ist tatsächlich so.
09.02.2018, 10:50	hamounm	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo wäre der Fehler?
09.02.2018, 10:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der eigentliche Fehler ist in der viertletzten Zeile, wo du einfach $\begin{eqnarray} \sqrt{(x-1)^2} \stackrel{?}{=} x-1 \end{eqnarray}$ rechnest. Das ist i.a. falsch, es gilt erstmal nur $\begin{eqnarray} \sqrt{(x-1)^2} = \|x-1\| \end{eqnarray}$ , was für $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ dann aber $\begin{eqnarray} \sqrt{(x-1)^2} = -(x-1) = 1-x \end{eqnarray}$ bedeutet. Und dummerweise sind wir hier stets in diesem Zweig $\begin{eqnarray} x<1 \end{eqnarray}$ . Warum quadrierst du überhaupt? Ist hier überflüssig wie ein Kropf. Stell beide Terme nach $\begin{eqnarray} \sqrt{5+t} \end{eqnarray}$ um, dann bekommst du $\begin{eqnarray} \sqrt{5+t} = 1-x = \frac{6-y}{2} \end{eqnarray}$ , und letztere Gleichheit ergibt umgeformt $\begin{eqnarray} y = 2x+4 \end{eqnarray}$ .
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09.02.2018, 11:08	hamounm	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, vielen Dank, das war mir so gar nicht bewusst....
09.02.2018, 15:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist daher $\begin{eqnarray} o(x)=2x+4 \end{eqnarray}$ die Ortskurvenfunktion sowohl für die Tief- als auch die Hochpunkte, es kommen dabei jeweils nur verschiedene Bereiche dieser Geraden zum Tragen: $\begin{eqnarray} x\geq 1+\sqrt{5} \end{eqnarray}$ für die Tiefpunkte und $\begin{eqnarray} x\leq 1-\sqrt{5} \end{eqnarray}$ für die Hochpunkte. Das natürlich unter der von dir nachgeschobenen Prämisse, dass hier nur die Parameter $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ betrachtet werden.

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