Sigma-Algebra-Struktur

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Jeniffer H. Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra-Struktur
Hallo,

wie beschreibe ich die Struktur einer Sigma algebra die nur endlich viele Elemente besitzt?

" Die Sigma algebra enthält 2^n Elemente, wobei n die Anzahl der Atome sind, dazu die leere Menge und Omega" ist das die Struktur? Wenn ja, wie schreibe ich das mathematisch auf?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Jeniffer,

sagen wir mal, du hast eine Sigma-Algebra und entnimmst dieser eine Menge . Gemäß Sigma-Algebrenaxiom weißt du, dass dann auch .

Nun kann man sich überlegen, dass es genau zwei Möglichkeiten gibt, von denen genau eine zutrifft (und die andere nicht):

(1) Es existiert eine nichttriviale disjunkte Partitionierung von A, mit .

(2) Ist eine Menge mit , so folgt .

Setzen wir nun A = Omega, und tritt (2) ein, so haben wir ein System mit 2 Elementen/Mengen und sind fertig. Andernfalls gibt es eine disjunkte Partitionierung und wir haben nun mindestens 4 Mengen, die mitspielen müssen.
Im zweiten Durchlauf, falls (2) eintritt, haben wir genau 4 Elemente (das müsste man evtl noch ein wenig genauer begründen). Ansonsten gibt es eine weitere disjunkte Partitionierung und wir sind bei mindestens 8 Elementen.
Da Endlichkeit vorausgesetzt ist, muss dieser 'Algorithmus' irgendwann terminieren.
(Man müsste evtl. noch genauer herausstellen, wie hier ganz konkret die Sigma-Algebrenaxiome einfließen.)

LG
sibelius84
 
 
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