Mengenfunktionen Maß

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Jasmin L. Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenfunktionen Maß
Gegeben sei eine Menge M und eine mindestens zweielemtige Menge
Wleche der folgenden Mengenfunktionen definiert ein Maß auf ?

a)


Im Lösungshinweis steht folgendes (wie kommt man darauf)?



sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Maß muss vor allen Dingen mal die Eigenschaft

erfüllen. Bei der hier vorgelegten Abbildung ist es so, dass immer nur 1 herauskommt. Kann sich da also irgendetwas addieren? Das könnte einem schon suspekt sein. Und wenn einem so etwas suspekt ist, dass es eigentlich nicht gehen kann, dann sollte man es schnellstens mit einem Beispiel dingfest machen.

Wenn wir hier das Beispiel betrachten , so dass alle Mengen messbar seien, dann hätten wir

, weil ; und
, weil .

Aber:

.
Jasmin L. Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstanden habe wird hier sie Sigma- Additivität geprüft (Ist das korrekt?)
Beim Fall ist also gegeben das egal wie der Schnitt von A und Y ist, solange es nciht leer ist, das Maß 1 ergibt. Und das kann nicht gelten, denn wenn man mindestens 2 Maße addiert, diese Zahl überschritten wird. (Richtig verstanden?)

Dann versuche ich mich an b.
b)


Hier würde ich sagen, ist ein Maß, denn unednlich undenlich oft addiert, ergibt unendlich, damit ist die bedingung erfüllt.

Ist diese Schreibwese dafür Korrekt? Wenn ich dein Beispiel von vorhin nehme und nun den Fall unendlich betrachte:

Es ist:

weil und
weil

also gilt:

daher definiert diese Mengenfunktion ein Maß auf P(M)


Nun benötige ich Hilfe bei einen dritten Fall.



Die Muster Lösung besagt das es kein Maß ist:

Das verstehe ich nicht ganz: für den Fall Null heißt es doch, dass Y und A nichts miteinander zu tun haben, also gilt es.

Y Teilmenge aus A... können nicht beide unendlich sein? Y eben "weniger" unednlich als A (es ist ja auch unendlicher als , beide jedoch undenlich daher der Gedanke und die verwirrung abzählbar unendlich/ überabzählbar unendlich)
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a): Ja, in etwa richtig verstanden. Wenn ein Maß wäre, dann müsste die Vereinigung zweier disjunkter Mengen vom Maß 1 das Maß 1+1=2 haben und das ist hier nicht gegeben.

Zu b): Deine Idee sieht richtig aus für den Fall, dass ein Maß als Abbildung nach definiert ist (was glaube ich in der Regel so gemacht wird). Aber an der Durchführung musst du noch arbeiten. Meine Menge mit den x1, x2, y1, y2 drin war nur ein Gegenbeispiel. Du musst nun einen Beweis führen. Ich würde Fallunterscheidungen benutzen, für die Sigma-Additivität. Fall 1: Alle Mengen A_n haben leeren Schnitt mit Y. Fall 2: das Gegenteil. (Also: Es gibt..., Umkehrung der Quantoren!)

Zu c): Ein Maß muss erfüllen, dass und hier wäre . Man kann auch so argumentieren: Falls , so gilt ; wäre aber ein Maß, so müsste gelten.
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