Bestimmung des Polynom vierten Grades durch Interpolation

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Dornröschen89 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung des Polynom vierten Grades durch Interpolation
Meine Frage:
Hallo an alle Experten,

ich benötige eure Hilfe beim lösen folgender Aufgabenstellung.

"Bestimmen Sie das Polynom vierten Grades, das die Funktion f(x)= sin(x)-cos(2x)+2x^3 an den Stellen x_k= k?, k = 0,...,4 interpoliert.


Meine Ideen:
Leider fehlt mir jegliche Idee wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll unglücklich , Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme zunächst die Koordinaten von (den) 5 Punkten (mit x = 0, 1, 2, 3, 4) der gegebenen Kurve.
Danach setzt du diese in das Polynom



ein und löst das dabei entstehende lGS den 5 Variablen nach diesen a, b, c, d und e auf.

Je nachdem, welche technologischen Hilfsmittel (TR, GTR, CAS) dir zur Verfügung stehen, kannst du diesen ziemlich rechenintensiven Aufwand größtenteils angenehm gestalten.
In diesem Fall bietet sich auch eine Regregressionsanalyse mit mehr Punkten an.

mY+
 
 
Dornröschen89 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mYthos vielen dank für die Antwort.

habe folgende Werte:

f(0)=-1
f(1)=3,2576
f(2)=17,5629
f(3)=53,1809
f(4)=127,3887

leider ist mir nicht ganz klar wie ich mit der genannten Formel das LGS erstellen und lösen soll verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die f(x) sind die y-Werte (Funktionswerte), diese enstehen, wenn man in der Polynomgleichung die x-Werte einsetzt:

f(0) = -1 wird so verarbeitet:

--> e = -1

f(1) = 3,2576

--> a + b + c + d + e = 3,2576

f(2) = 17,5629

--> 16a + 8b + 4c + 2d + e = 17,5629

und so fort. Damit sind die 5 Gleichungen erstellt. Jetzt geht's an die Lösung ...
Das kannst du mit einem geeigneten Taschenrechner auch machen (Matrix des Systems eingeben ..)

[attach]46488[/attach]

Wie man sieht, ist im Bereich von x=0 bis x=4 der Verlauf der Polynomfunktion (rot) ziemlich identisch mit dem der Originalkurve (grün).

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

An der vergleichsweise großen y-Skale sieht man aber nicht mehr sehr deutlich, ob die Interpolationsbedingungen eingehalten wurden. Deswegen würde ich eher die um jeweils den dominierenden Summanden bereinigten Funktionen plotten:

mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Summand nicht konstant ist, würde ich ihn einbezogen lassen.
Die Interpolationsbedingungen sind nicht näher spezifiziert (Fehlergröße?)
Ausserdem soll mittels einer Funktion 4. Grades approximiert werden, warum ist sie jetzt vom Grad 3?

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Sie ist nicht vom Grad 3, sondern vom Grad 4 - nicht nur auf die (abgeschnittene) Legende in der Grafik schauen.

Zitat:
Original von mYthos
Die Interpolationsbedingungen sind nicht näher spezifiziert (Fehlergröße?)

Es geht hier explizit nicht um Approximation, sondern Interpolation, und da gibt es keinen Ermessensspielraum: Die Interpolationsfunktion muss die Originalfunktion an den vorgegebenen Stützstellen genau treffen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

bei gleich abständigen Stützstellen ist das Verfahren von Newton ziemlich effektiv, insbesondere dann wenn nachträglich noch ein weiterer Punkt interpoliert werden soll.

So etwas wie die Güte der Interpolation einer Funktion gibt es schon. Sei f, n+1 mal stetig differenzierbar und ist das kleinste Intervall das alle und enthält. Der Fehler ist durch

mit bestimmt.

Das lässt sich optimieren, wenn die Stützstellen gemäß Tschebychov gewählt wurden.
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