Nachfrage zum Beweisen von Stetigkeit

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Nachfrage zum Beweisen von Stetigkeit
Hallo zusammen,

wir haben folgenden Satz zur Stetigkeit von Funktionen in der Vorlesung:

Eine Funktion ist in einem Punkt , a ist Häufungspunkt von D, stetig, wenn gilt:



muss man dann bei einem Beweis für Stetigkeit noch zeigen, dass a auch wirklich ein HP ist ?

weil man könnte einfach immer die konstante Folge a_n nehmen , welche für alle ist

Also die konkrete Frage muss man zeigen das a ein Häufungspunkt ist ?
Ich selber würde nämlich sagen nein, denn wenn man die stetigkeit in jedem beliebigen Punkt nachweisen möchte, dann müsste man ja iwie zeigen, dass jeder Punkt ein HP ist.
Also nimmt man doch einfach an, dass es sich bei jedem Punkt a , um einen HP hanelt oder ?

LG

Snexx_math
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Satz gehört die Tatsache, dass a ein Häufungspunkt ist, zu den Voraussetzungen. Den Limes hast du falsch geschrieben.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

ja im Limes soll natürlich nach dem Pfeil ein a stehen.

Also nochmal dazu, dass a HP Voraussetzung ist. Muss ich das nun zeigen oder kann ich es voraussetzen ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist in einem Häufungspunkt stetig, wenn für alle Folgen gilt .
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich es nicht zeigen verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor das hier in eine falsche Richtung zu laufen droht, es gibt für zwei mögliche Fälle:

1) ist Häufungspunkt von . In dem Fall ist in stetig genau dann wenn gilt.

2) ist kein Häufungspunkt von . In dem Fall ist in automatisch stetig, d.h., ohne weitere Bedingungen an !

Der Grund für die Stetigkeit in 2) ist, dass man da eine Umgebung von findet, in der außer keine weiteren Punkte von liegen. 2) mag kurios klingen und widerspricht vielleicht dem Alltagsverständnis von Stetigkeit, aber es ist tatsächlich so.
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