Wurzel der imaginäre Einheit

10.02.2018, 20:14

Mathekartoffel

Wurzel der imaginäre Einheit

Hallo,
ich habe die Aufgabe

$\begin{eqnarray*} x^{4} = -36 \end{eqnarray*}$

die ich als zu x lösen soll

Wenn ich jetzt
$\begin{eqnarray*} x= (-36)^{1/4} \end{eqnarray*}$ rechne erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6*i} \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht wie ich diese Zahl einordnen soll. Was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ? Heißt $\begin{eqnarray*} \sqrt{6*i} \end{eqnarray*}$ , dass die Zahl nun nur noch einen imaginären Anteil hat?

Ich habe versucht mich über $\begin{eqnarray*} x^{2} = \sqrt{36*i^{2}} \end{eqnarray*}$ dran zu tasten.
Dann wäre $\begin{eqnarray*} x^{2} = 6*(\cos(90)+i\sin(90) \end{eqnarray*}$
und die Wurzel daraus
$\begin{eqnarray*} \sqrt{6}*(\cos(\frac{90+k*360}{2}) + i\sin(\frac{90+k*360}{2} )) \end{eqnarray*}$
mit k=0 und k=1

was mich zu

$\begin{eqnarray*} x0=\sqrt{3}+i\sqrt{3}<br /> x1=-\sqrt{3}-i\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

führen würde(was auch richtig ist) aber hiermit würden 2 der 4 Lösungen entfallen.

10.02.2018, 23:20

ML_

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RE: Wurzel der imaginäre Einheit

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^{4} = -36 \end{eqnarray*}$

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden
- die Beträge multipliziert und
- die Winkel addiert

Das bedeutet für die Aufgabe, dass
- $\begin{eqnarray*} |x|=\sqrt[4]{36} \approx 2{,}45 \end{eqnarray*}$ ist und
- dass die Winkel der vier Zahlen die folgenden Werte annehmen: $\begin{eqnarray*} \varphi_1 = \frac{180^\circ}{4}, \varphi_2 = \frac{180^\circ + 360^\circ}{4}, \varphi_3 = \frac{180^\circ + 720^\circ}{4}, \varphi_4 = \frac{180^\circ + 1080^\circ}{4} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Michael

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