Jacobi Matrix invertieren

Neue Frage »

Pienza Auf diesen Beitrag antworten »
Jacobi Matrix invertieren
Hallo, Wink

ich habe hier eine Jacobi Matrix die ich invertieren möchte/muss.

Sie lautet



Vielleicht kann das ja eben wer invertieren und dann erklären wie s geht...

Danke im Voraus
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, da würd ich die inverse so berechnen:

Ich bau mir erstmal eine Matrix C mit den Einträgen: (Deine Matrix nenn ich A)


(Wobei die Matrix ist die rauskommt wenn man bei der Matrix A die j-ite Zeile und i-te Spalte streicht.) (Btw: C nennt sich auch die adjunkte Matrix zu A)

Dann berechne ich noch die Determiante von A und dann ist die Inverse Matrix:



Gruss, navajo.
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach der Cramerschen Regel. Nun denn, bedank ich mich artig und mach mich dran das ganze nach C++ umzusetzen Big Laugh
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ist das echt das selbe wie Cramersche Regel, ich dachte damit findet man Lösungen zu inhomogenen linearen Gleichungssystemen verwirrt

Vll kannst du mir den Zusammenhang erklären smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Invertieren einer 2×2-Matrix geht besonders einfach:
Vertausche die Elemente der Hauptdiagonalen und ändere bei den anderen Elementen das Vorzeichen. Und dann das Ganze noch mit dem Kehrwert der Determinante multiplizieren; in Formeln (für ad-bc ungleich 0):

Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von navajo
Hmm ist das echt das selbe wie Cramersche Regel, ich dachte damit findet man Lösungen zu inhomogenen linearen Gleichungssystemen verwirrt

Vll kannst du mir den Zusammenhang erklären smile

Die Formel zum lösen von Gleichungssystemen ist nur ein Sonderfall, der sich aus der allgemeinen Cramerschen Regel gewinnen lässt.
 
 
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Formel zum lösen von Gleichungssystemen ist nur ein Sonderfall, der sich aus der allgemeinen Cramerschen Regel gewinnen lässt.


Hmpf, dann hat mir unser Dozent die allgemeine Cramersche Regel vorenthalten, und den Spezialfall so genannt unglücklich Dann bring ich die mir halt mal selbst bei Augenzwinkern
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann sie dir auch sagen:

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und was hat das jetzt mit der Cramerschen Regel zu tun?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich verstehe deine Frage nicht.
Das, was ich da gepostet habe, ist die Cramersche Regel, ja?
Oder meinst du, warum Pienza auf "Cramersche Regel" kam?
Das liegt einfach daran, dass aus ihr gerade die von navajo angesprochene Identität, also
"Für " folgt, wie man unmittelbar sieht.
Oder meinst du, wie sie mit dem, was man in der Schule als "Cramersche Regel" bezeichnet, zusammenhängt? Letzere folgt, wie gesagt, aus der Cramerschen Regel, bei Interesse tippe ich ab, wie man die Regel zum Lösen eines LGS aus der Cramerschen Regel gewinnt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Unter der Cramerschen Regel versteht man das Verfahren, mit Hilfe von Determinanten die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen. Der Witz ist, daß man dafür die inverse Matrix gerade nicht braucht.
Den Zusammenhang mit der Adjunkten, den du aufschreibst, kenne ich nicht als Cramersche Regel.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, das von dir angesprochene Verfahren zum Lösen von LGS folgt aus der Cramerschen Regel, wie ich sie gepostet habe.
Interessiert dich, wie es folgt, dann tippe ich den Beweis kurz ab (ist nicht lang).

Edit gelöscht, lässt sich doch gut abtippen.
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Unter der Cramerschen Regel versteht man das Verfahren, mit Hilfe von Determinanten die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems zu bestimmen. Der Witz ist, daß man dafür die inverse Matrix gerade nicht braucht.
Den Zusammenhang mit der Adjunkten, den du aufschreibst, kenne ich nicht als Cramersche Regel.


Genauso gings mir auch. Das was Philipp-ER Cramersche Regel nennt, hab ich ohne besonderen Namen kennengelernt.

Cramersche Regel hiess bei mir das Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. (übrigens auch hier im Lexikon: *click*)
SirJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER
Wie gesagt, das von dir angesprochene Verfahren zum Lösen von LGS folgt aus der Cramerschen Regel, wie ich sie gepostet habe.
Interessiert dich, wie es folgt, dann tippe ich den Beweis kurz ab (ist nicht lang).


Mich interessiert der Zusammenhang (ein wenig), Philipp.

Gruss,
SirJ
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJ
Mich interessiert der Zusammenhang (ein wenig), Philipp.


Big Laugh

Ich hätte auch Phillips Aussage als Cramersche Regel bezeichnet.

Gruß vom Ben
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Extra für den mir so besonders teuren SirJective:
Satz:
Für eine Matrix und einen Spaltenvektor betrachte man das lineare Gleichungssystem . Dann ist die eindeutige Lösung dieses Systems. Sind die Spalten von A, so wird die i-te Komponente von gegeben durch


Beweis:
Direkt aus der Cramerschen Regel folgt, dass für eine invertierbare Matrix A gilt:


Sei
und


Dann ergibt sich mit der obigen Folgerung aus der Cramerschen Regel die i-te Komponente von zu


Mit der Definition der Elemente der Adjungierten also
,
wobei wie üblich die Matrix bezeichnet, die aus A durch Ersetzen der Elemente der i-ten Zeile und j-ten Spalte durch 0 und durch anschließendes Ersetzen des Elementes am Schnittpunkt von i-ter Zeile und j-ter Spalte durch 1 entsteht.
Nun gilt wiederum, wenn A die Spalten hat, die folgende Beziehung (ich setze das als bekannt voraus, kann den Beweis aber noch nachliefern (ist ganz einfach)):
mit dem i-ten Einheitsvektor , weshalb man den Ausdruck für die i-te Komponente wie folgt weiter umformen kann:


womit alles gezeigt ist.

So, ich hoffe, ich habe die Aussagen einiger verschiedener Sätze verständlich zusammengewürfelt.
Gruß
Philipp
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Okay, soweit so gut. Leider haut das bei mir absolut nicht hin.

Also Aufgabenstellung lautet wie folgt

Gegeben sind Ihnen die beiden Funktionen und
Bestimmen Sie numerisch die beiden Durchstosspunkte der Schnittkurve mit der (x,y)-Ebene (bei z=0)

Verwenden Sie als Lösungsverfahren das Newton Verfahren

Geben Sie die dazugehörige Jacobi Matrix J handschriftlich an
Geben sie die Inverse zur Jacobi Matrix handschriftlich an
Stellen Sie den 1. Iterationsschritt unter Vorgabe der Startlösung handschriftlich auf



Kann mir da vielleicht bitte irgendwer irgendwie helfen?

Danke im Voraus
SirJ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Philipp,
jetzt wissen wir auch, wie man aus "der einen" Cramerschen Regel "die andere" herleitet. Diese Argumentation finde ich gut verständlich, musste nur - wie das bei Berechnungen immer ist - selber nachrechnen, um's wirklich zu verstehen.


Pienza,
die Jacobi-Matrix hast du schon ausgerechnet (bis auf ein Vorzeichen ist sie richtig).
Wie man sie am einfachsten invertiert hat die Leopold gezeigt.

Bei welchem Schritt hast du nun ein Problem, Pienza?
Schreib uns doch bitte die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens auf (die sieht nämlich im mehrdimensionalen Fall etwas anders aus als im eindimensionalen).

Gruss,
SirJ
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, das mit dem Vorzeichen, das hatte ich schon gemerkt war lediglich ein Tippfehler, da ich aber unregistriert bin hier im Board, konnt ich es nicht editieren Big Laugh


Nun zum Problem. Die Jacobi aufstellen geht ansich noch. Dann habe ich aber mit verschiedensten Methode, diverse Inverse berechnet, aber immer wenn ich diese Inverse dann mit der Ausgangsgleichung multipliziere, komme ich nicht auf die Einheitsmatrix. Ergo muss meine Inverse eigentlich falsch sein.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Pienza,
Für den Startwert (2,2) bekomm ich mit "navajos" Regel:




Was bekommst Du denn?
gruß
mathemaduenn
Edit Fehler korrigiert
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, wenn ich mir die Zahlen einsetze, komm ich auch auf n Ergebnis. Aber ist es nicht so, dass in der Jacobi Matrix noch die Variablen drin stehen? Denn wenn dem so ist, hab ich einige Ergebnisse Big Laugh Doch keines davon ergibt mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix, kann also keine Inverse sein.

Ich find aber auch in der Literatur praktisch nix darüber verdammte Axt.

Und das ganze mal ins Matlab, Maple oder Konsorten eingeben? Liefert das irgend was sinnvolles?
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Pienza,
Das Prinzip bleibt doch dasselbe ob nun mit Zahlen oder Variablen. Kannst ja mal dein Ergebnis posten. Am besten mit den Zwischenschritten. (z.B. adjungierte Matrix/Determinante)
Da man ja in jedem Iterationsschritt neue Zahlenwerte in die Matrix einsetzen muß verstehe ich die Aufgabe auch so das man Symbolisch rechnen soll.
gruß
mathemaduenn
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaaalsso









Soweit so gut ...

Nun dachte ich dass wenn ich diese rechne .. den E heraus bekomme, oder liege ich da falsch?
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

kleiner Tippfehler in C .. da gehört natürlich -4 rein statt 4 ..

muss mich nu echt mal registrieren verdammt .. kann nix editieren ..
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du gehst mir den Vorzeichen "recht freizügig" um.
Welches J gilt nun, das aus deinem Eingangsbeitrag oder das jetzige?
Also noch einmal alle (!!!) Vorzeichen kontrollieren. Dann klappt es auch.
(Es soll wohl auch det(J) statt det(A) heißen?)

(Edit: Er hat es gemerkt. Beitrag hinfällig.)

Bei Matrizen bitte runde Klammern setzen. Sonst Verwechslung mit Determinante.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Pienza,
Zitat:
Original von Pienza
Nun dachte ich dass wenn ich diese rechne .. den E heraus bekomme, oder liege ich da falsch?

Nein da liegst Du richtig. Sollte auch hier klappen.
gruß
mathemaduenn
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

So, registriert geht es frisch ans Werk..

sämtliche Fehler oben, waren gottlob nur Tippfehler. Ab jetzt wird edit gemacht.

So, ich versuchs mal weiter.
Wenn ich dran denke dass noch eine Spline funktions programmierung vor mir liegt .. Hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, den Kampf mit dem Minuszeichen hat schon so mancher verloren ...
Pienza Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die Sache scheint nun gegessen, weiss zwar nun nicht was ich im Vorfeld immer falsch gemacht habe, aber ich bekomme folgende Lösung






8) and Prost
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »