Ungleichung Fixpunktsatz

11.02.2018, 19:02

Florian.S

Ungleichung Fixpunktsatz

Hallo, ich würde gerne wissen ob mir jemand bei einer Ungleichung helfen kann.

Würde gern folgende Ungleichung zeigen:

$\begin{eqnarray*} |\frac{x+1/2}{x+1}-\frac{y+1/2}{y+1} |\leq 1/2|x-y| \end{eqnarray*}$

Zum Hintergrund: Der Schritt ist wichtig um zu zeigen, dass die Funktion kontrahierend ist um den Fixpunktsatz anzuwenden. Den Fixpunkt an sich und die restlichen Kriterien habe ich bereits gezeigt/bestimmt. Nur bei der Ungleichung hapert es.

Hier mal mein Weg:

$\begin{eqnarray*} <=>\qquad |\frac{(x+1/2)(y+1)-(y+1/2)(x+1)}{(x+1)(y+1)}| \leq 1/2|x-y| \end{eqnarray*}$

Dann kann ich ja einfach anwenden : |a|*|b| = |a*b|

$\begin{eqnarray*} <=>\qquad 2*|(x+1/2)(y+1)-(y+1/2)(x+1)| \leq |(x-y)(x+1)(y+1)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>\qquad |2x + 2y + x + y| \leq |x^2y+x^2-y^2x-y^2-y+x| \end{eqnarray*}$

Hier auch das Problem. Ich weiß nicht wie ich a) weiter machen soll, wegen den Betragsstrichen, kann ja nicht einfach umformen. Und b) bin ich mir garnicht sicher ob der Term auf der rechten Seite wirklich größer gleich dem linken Term ist für alle x,y > 0 ... Glaube habe mich verrechnet. Wäre super nett wenn jemand drübergucken könnte smile

11.02.2018, 20:06

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichung Fixpunktsatz
Klammere $\begin{eqnarray*} \frac 12 \end{eqnarray*}$ aus und versuche dann in beiden Zählern eine Konstante zu erreichen, indem Du die Brüche vereinfachst.

12.02.2018, 02:48

Florian.S

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst wahrscheinlich am Anfang direkt vor meinem Umformungen ?

Da hab ich bisschen rumprobiert und folgendes bekommen(nur linke Seite betrachtet):

$\begin{eqnarray*} | \frac{1/2(2x+1)}{x+1} - \frac{1/2(2y+1)}{y+1} |\leq 1/2|x-y| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=> |\frac{(2x+1)}{2x+2} - \frac{(2y+1)}{2y+2}| \leq 1/2|x-y| \end{eqnarray*}$

Kann ich hier überhaupt noch vereinfachen ? Die + 2 stört unten.

12.02.2018, 07:39

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Das 1/2 willst Du doch vor dem Betrag haben, warum versteckst Du es im Bruch?
Was die beiden Brüche angeht: Du könntest beide Zähler variablenfrei bekommen, indem Du sie als Summe schreibst und dann aufteilst.

12.02.2018, 08:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{z+1/2}{z+1} = \frac{2z+2-1}{2(z+1)} = 1 - \frac{1}{2(z+1)} \end{eqnarray*}$ , damit kann man sich bei der Differenzbildung links einiges an Rechnerei sparen.

Oder wenn wir uns schon an deinen Rechnungen oben orientieren:

Zitat:

Original von Florian.S
$\begin{eqnarray*} <=>\qquad 2*|(x+1/2)(y+1)-(y+1/2)(x+1)| \leq |(x-y)(x+1)(y+1)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>\qquad |2x + 2y + x + y| \leq |x^2y+x^2-y^2x-y^2-y+x| \end{eqnarray*}$

Links hast du falsch gerechnet, und rechts ist ausmultiplizieren kontraproduktiv. Tatsächlich ergibt sich nämlich

$\begin{eqnarray*} |x-y| \leq |(x-y)(x+1)(y+1)| \end{eqnarray*}$ .

Und das ist angesichts von $\begin{eqnarray*} x\geq 0,\, y\geq 0 \end{eqnarray*}$ und dem daraus folgenden $\begin{eqnarray*} 1 \leq (x+1)(y+1) \end{eqnarray*}$ sofort klar.

12.02.2018, 14:04

Florian.s

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

danke für die Antworten. Bei der Verinfachung mit 1 - Rest war ich auch, habe dann aber abrupt gestoppt, weil ich dachte von hier aus ginge es nicht weiter. Es geht aber doch weiter und ich kam letztendlich auf :

$\begin{eqnarray*} | x - y | \leq |x - y | * (x+1)(y+1) \end{eqnarray*}$

Und das stimmt auch da der Faktor rechts größer 1 ist, weil x,y größer Null sind. Hoffe Umformung und Begründung passen so.

Neue Frage »

Antworten »

Ungleichung Fixpunktsatz

Verwandte Themen