Produkt zweier Zufallszahlen

12.02.2018, 11:31	Schueler	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt zweier Zufallszahlen Hallo, diese Frage wurde sicher schon öfters gestellt, habe auch die Suchfunktion benutzt. Mir geht es aber um das Detail Integrationsgrenzen im Rechenweg, habe da keine Antwort finden können. Folgendes: $\begin{eqnarray} X_1, X_2 \end{eqnarray}$ sind zwei unabhängige, zwischen 0 und 1 gleichverteilte Zufallsvariablen mit der entsprechenden Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ . Gesucht ist nun die Verteilung des Produkts $\begin{eqnarray} X_1 \cdot X_2 \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz: ich betrachte die Transformationen $\begin{eqnarray} <br /> y_1 = x_1 \cdot x_2<br /> y_2 = x_2<br /> \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} \Vert J \Vert = 1/y_2 \end{eqnarray}$ , und die gesuchte Dichte $\begin{eqnarray} <br /> g(y_1) = \int_{y_2=-\infty}^{\infty} \! \Vert J \Vert \cdot f(x_1(y_1,y_2), x_2(y_1,y_2)) \, dx <br /> = \int_{??}^{??} \! \frac{1}{y_2} \cdot f(\frac{y_1}{y_2},y_2) \, dx <br /> \end{eqnarray}$ . Wie integriere ich das nun, d.h. wie werte ich die Funktion $\begin{eqnarray} f(\frac{y_1}{y_2},y_2) \end{eqnarray}$ aus und wie komme ich auf die Integrationsgrenzen? Mit Umkehrfunktionen und Integraltransformationen hatte ich leider schon immer Probleme.
12.02.2018, 13:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal erfolgt die Integration über $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ statt über $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} g(y_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\|y_2\|} \cdot f\left( \frac{y_1}{y_2},y_2\right) ~ \dd y_2 \end{eqnarray}$ Nun ist diese $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ -Dichte gleich 1, sofern $\begin{eqnarray} 0\leq y_2\leq 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 0\leq \frac{y_1}{y_2}\leq 1 \end{eqnarray}$ ist, letzteres bedeutet umgestellt $\begin{eqnarray} y_2\geq y_1 \end{eqnarray}$ . Ingesamt haben wir damit für $\begin{eqnarray} 0\leq y_1\leq 1 \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} g(y_1) = \int\limits_{y_1}^1 \frac{1}{y_2} ~ \dd y_2 \end{eqnarray}$ , und für alle anderen $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ ist die Dichte gleich Null.
12.02.2018, 13:15	Schueler	Auf diesen Beitrag antworten »
OK hab die Lösung über Mittag vielleicht selber gefunden. Da in $\begin{eqnarray} f(x_1,x_2) \end{eqnarray}$ nur Werte $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ einen Funktionswert ungleich 0 ergeben, muss ich diese Bedingungen offenbar in $\begin{eqnarray} x_1=y_1/y_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 =y_2 \end{eqnarray}$ abbilden. Wenn ich mit $\begin{eqnarray} y_2 \end{eqnarray}$ bei 0 anfange, ist $\begin{eqnarray} y_1/y_2 = \infty \end{eqnarray}$ und wird erst 1 wenn $\begin{eqnarray} y_2=y_1 \end{eqnarray}$ . Dann bleibt $\begin{eqnarray} y_1/y_2 \end{eqnarray}$ größer 0 bis $\begin{eqnarray} y_2 = 1 \end{eqnarray}$ sich selbst begrenzt. Also suche ich $\begin{eqnarray} <br /> \int_{y_2=y_1}^{1} \! \frac{1}{y_2} \cdot f(\frac{y_1}{y_2}, y_2) \, dy_2 = \ln(\frac{1}{y_1})<br /> \end{eqnarray}$ P.S. Das = $\begin{eqnarray} dx \end{eqnarray}$ in erstem Beitrag soll natürlich ein [latex] dy_2 [latex] sein, copy & paste aus dem Formeleditor
12.02.2018, 13:18	Schueler	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Hallo HAL9000, da haben wir offenbar fast zur selben Zeit getippt, dein Beitrag ist bei mir erschienen nachdem ich bei mir auf Antwort erstellen geklickt habe. Danke jedenfalls für die Antwort!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »