Sigma-Algebra abzählbar unendlich

12.02.2018, 13:02

Charlotte H.

Sigma-Algebra abzählbar unendlich

Zeigen Sie, daß es keine Sigma Algebra mit abzählbar unendlich vielen Mengen gibt.

Dazu habe ich Musterlösung und versuche es zu verstehen und brauche eure Hilfe.

$\begin{eqnarray*} \times \neq \varnothing A \subseteq P(x) Sigma Algebra \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \times \in X \end{eqnarray*}$ betrachte das zu x gehörige Atom: $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{M \in A } M <br /> \\{x \in M} \end{eqnarray*}$

1. Fall: Anzahl der Atome endl. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow A \end{eqnarray*}$ endlich
die Anzahl der n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow |A| = 2^n \end{eqnarray*}$

2. Fall: Anzahl der Atome abz. unendl. |A| hat die Mächtigkeit der P( $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ), d.h. ist überabzählbar

3. Fall: Anzahl der Atome überabzählbar.

FRAGE:(aber wenn 2^n gilt muss doch eigentlich auch in Sigma Albegra mit abzählbar unendlich Mengen geben?

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

12.02.2018, 13:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Charlotte H.
\times \neq \varnothing A \subseteq P(x) Sigma Algebra

Was bitte soll man so einem Müllhaufen anfangen? Überhaupt mit diesem ganzen \times-Sch...ß? Wenn du schon Copy+Paste betreibst, dann bitte mit sinnvoller Nachbearbeitung. unglücklich

Was du vielleicht meinst: Ausgangspunkt ist Grundmenge $\begin{eqnarray*} X\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ und darauf Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} A\subseteq P(X) \end{eqnarray*}$ .

Und weiter dann: Zu $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ betrachte man das zugehörige Atom $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{\substack{M\in A:\\x\in M}} M \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Charlotte H.
FRAGE:(aber wenn 2^n gilt muss doch eigentlich auch in Sigma Albegra mit abzählbar unendlich Mengen geben?

Die Anzahl $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ ist eine endliche Zahl, und damit nicht abzählbar unendlich.

12.02.2018, 13:51

Charlotte H.

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Lieber "Hal 9000" ,

Das war kein Copy Past Drecksschei... sonst wäre das gewiss nicht passiert. Das war der Versuch den verf... Code zu nutzen. Liest du den Latex Code statt den Display Text? Oder sind deine Augen dermaßen geschult? Mir wäre es sonst nicht aufgefallen, dass es hier keine Xer sind.

Sorry für die Ausführung, danke für die Antwort.

Wie hast du diese saubere Auführung vom Atom hinbekommen`? Habs ums verrecken nicht untereinader bekommen, ohne Latex wäre es aber noch mehr für die Tonne. Das mit den xer war Dreck- da geb ich dir recht, auch wenn du sehr "sanfte Wörter" dafür gefunden hast.

verstehe, das ist dann auch schon das ganze Geheimnis oder? dadurch, dass 2^n eine endliche Zahl ist, kann es keine Sigma Algebra mit abzählbar unendlich viele Mengen geben? Oder warum kann es keine geben?

12.02.2018, 13:57

Steffen Bühler

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Da ich ja nicht unbeteiligt war...

Zitat:

Original von Charlotte H.
Liest du den Latex Code statt den Display Text?

Er hat Deinen Beitrag wohl gelesen, bevor ich die Tags eingefügt hatte. Andererseits ist ein $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ schon recht auffallend, wenn man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gewohnt ist.

Zitat:

Original von Charlotte H.
Wie hast du diese saubere Auführung vom Atom hinbekommen`?

Den LaTeX-Code kannst Du Dir anschauen, indem Du probehalber auf "Zitat" gehst. Oder Du nimmst die rechte Maustaste, dann "Show Math As"-"TeX Commands".

Viele Grüße
Steffen

12.02.2018, 13:57

Charlotte H.

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Oder vielleicht die Frage so gestellt: "Warum ist 2^n eine endliche Zahl? wenn n= unendlich ist, dann ist 2^n auch unendlich" Wenn n= $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist zum Beispiel.

Ok glaube ich muss es anders sehen. Die Menge kann R enthalten, R und die leere Menge, tatsächlich sind es aber 2 Elemete (einer Sigma Algebra) und darauf bezieht sich diese 2^n und somit muss es endlich sein. Hatte ein Denkfehler.

Danke

12.02.2018, 14:07

Charlotte H.

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Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von Charlotte H.
Wie hast du diese saubere Auführung vom Atom hinbekommen`?

Den LaTeX-Code kannst Du Dir anschauen, indem Du probehalber auf "Zitat" gehst. Oder Du nimmst die rechte Maustaste, dann "Show Math As"-"TeX Commands".

Viele Grüße
Steffen

Super, Danke Steffen smile

12.02.2018, 14:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Charlotte H.
Mir wäre es sonst nicht aufgefallen, dass es hier keine Xer sind.

Ich gehe auch eigentlich davon aus, dass du ein wenig mitdenkst, wenn du etwas hinschreibst, statt nur etwas Zeichen für Zeichen zu kopieren. Und wenn dann solche \times-Konstrukte auftauchen in einer ziemlichen Inkonsequenz (mal für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , dann aber auch wieder für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ...), dann ist das schon ziemlich nervend beim Versuch des Nachvollziehens der Gedanken. Außerdem wollte ich damit auch sagen, dass das Hintereinanderschreiben \times \neq \varnothing A \subseteq P(x) von zwei Aussagen $\begin{eqnarray*} X\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ einerseits und $\begin{eqnarray*} A\subseteq P(X) \end{eqnarray*}$ andererseits ohne erkennbare Trennung auch nicht gerade beim Lesen sehr angenehm ist.

Das ist hier kein Hieroglyphenstudium. Das wenigste, was ein Fragesteller tun sollte ist, die zu erklärende Passage unfallfrei oder zumindest -arm darzustellen. Und wenn sie/er es mit dem LaTeX nicht packt, dann mit einem ordentlich lesbaren Scan.

Und nochmal zum Inhalt:

In Fall 1 ist $\begin{eqnarray*} |A|=2^n \end{eqnarray*}$ endlich, daher zu klein für abzählbar unendlich.

In Fall 2 ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ genauso mächtig wie $\begin{eqnarray*} P(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ , d.h. überabzählbar unendlich, und damit zu groß.

In Fall 3 ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall größer als in 2), also auch überabzählbar unendlich.

Mehr Fälle gibt es nicht, und wie gesehen ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in keinem der Fälle abzählbar unendlich - mal zu klein, mal zu groß.

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