Borel-messbare Mengen

12.02.2018, 14:42

Anna Ph.

Borel-messbare Mengen

Sei $\begin{eqnarray*} \left(\Omega, \mathcal A, \mu \right) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum.
$\begin{eqnarray*} X:\Omega \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei eine reellwertige meßbare Abbildung, wobei
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra der Borelschen Mengen versehen werde. Man begründe warum die folgende Menge meßbar ist:

a) $\begin{eqnarray*} \left\{ X \leq 5 \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

umgeschrieben ist $\begin{eqnarray*} \left\{ X \leq 5 \right\} \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \left] -\infty , 5\right] \end{eqnarray*}$

Im Skript gibt es eine Passage mit Beispiele für Borelmengen, dort ist zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n} \left] a, b+ \frac{1}{n} \right[ \end{eqnarray*}$

daher würde ich behaupten:

$\begin{eqnarray*} \left] -\infty , 5\right] \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n} \left] -\infty , 5+ \frac{1}{n} \right[ \end{eqnarray*}$

Genügt das als Begründung warum die Abbildung Meßbar ist? Ich habe es zwar umgeschrieben weiß aber nicht wie man zeigen soll dass es messbar ist. Im Skript steht zu Borelmengen das diese Scheinbar immer (sehr oft) Messbar sind (Jedes Interval (a,b] mit a,b aus R. Jede Vereinigung von Borelmengen, Schnitt, Differenz, etc.).

12.02.2018, 15:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Anna Ph.
Im Skript steht zu Borelmengen das diese Scheinbar immer (sehr oft) Messbar sind (Jedes Interval (a,b] mit a,b aus R. Jede Vereinigung von Borelmengen, Schnitt, Differenz, etc.).

Mit "scheinbar" und "sehr oft" ist in der Mathematik kein Blumentopf zu gewinnen. Also im Klartext: Wie habt ihr die Borel-Sigmaalgebra definiert, d.h., welche Mengen gehören per dieser Definition sicher dazu? Sind das diese halboffenen Mengen $\begin{eqnarray*} (a,b] \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

In dem Fall ist bei $\begin{eqnarray*} ]-\infty,5] \end{eqnarray*}$ nicht das rechte Intervallende, sondern die $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ links das Problem. Was sich aber über $\begin{eqnarray*} ]-\infty,5] = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\, ]-n,5] \end{eqnarray*}$ lösen lässt. Augenzwinkern

12.02.2018, 15:35

Anna Ph.

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definiton lautet:

Betrachte $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \chi := \left\{ \left]a,b\right[ | a,b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Die kleinste $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ enthaltende $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra (die von $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra ) heißt die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra der Borelschen Mengen.

Bemerkung :
Die Borelmengen werden ebenso erzeugt von den abgeschlossenen Intervallen, den halboffenen Intervallen, den offenen Mengen und den abgeschlossenen Mengen.
daher scheinbar" und "sehr oft" . Analog definiert man Borelsche Mengen auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T) \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum, so ist die Borelsche $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, die von den offenen Mengen $\begin{eqnarray*} \in \mathcal T \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

12.02.2018, 16:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist klar, dass die Definition der Borel-Sigmaalgebra hinsichtlich der Erzeugendensysteme variiert, deshalb ja meine Frage. Ok, bei dir sind es also die offenen Intervalle $\begin{eqnarray*} ]a,b[ \end{eqnarray*}$ . Letztendlich führen zwar alle diese unterschiedlich erscheinenden Definitionen auf dieselbe Sigma-Algebra, dennoch ist es aber beweistechnisch wichtig zu wissen, mit welcher Definition man arbeiten muss.

Da kann man zunächst über $\begin{eqnarray*} \bigcup_{n=1}^{\infty}\; ]\! -n,b[ \;=\; ] -\infty,b[ \end{eqnarray*}$ nachweisen, dass die Mengen $\begin{eqnarray*} ] -\infty,b[ \end{eqnarray*}$ Borelmengen sind. Und anschließend genau wie du es oben angeführt hast über $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\; \left] -\infty,b+\frac{1}{n}\right[ \;=\; ] -\infty,b] \end{eqnarray*}$ schließlich auch, dass $\begin{eqnarray*} ] -\infty,b] \end{eqnarray*}$ Borelmengen sind.

Nun zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ : Da bist du hier

Zitat:

Original von Anna Ph.
umgeschrieben ist $\begin{eqnarray*} \left\{ X \leq 5 \right\} \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \left] -\infty , 5\right] \end{eqnarray*}$

ein wenig ungenau in der Formulierung: Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} \left\{ X \leq 5 \right\} = \left\{ \omega\in\Omega:\; X(\omega) \leq 5 \right\} = X^{-1}\left( ]-\infty,5] \right) \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} ]-\infty,5] \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge ist und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ voraussetzungsgemäß messbar ist (das bedeutet genauer gesagt $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A})-(\mathbb{R},\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ -messbar), so ist $\begin{eqnarray*} X^{-1}\left( ]-\infty,5] \right)\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Borel-messbare Mengen

Verwandte Themen