Wert einer Reihe ermitteln

13.02.2018, 15:48	Iame	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Reihe ermitteln Meine Frage: Kann mir jemand weiterhelfen und mir sagen, was hier gemacht wird? Die Aufgabe ist es, denn Wert der Reihe zu ermitteln. Meine Ideen: Ich dachte ich schreibe das 3^k+1 zu 3^k * 3 um und ziehe dann die 3 aus dem Bruch raus, sodass man 1/3 * ((2k^2-2k-1)/3^k) bekomme..
13.02.2018, 16:09	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, fasse mal $\begin{eqnarray} \frac{k^2}{3^k}-\frac{(k+1)^2}{3^{k+1}} \end{eqnarray}$ auf einem Bruchstrich zusammen, vielleicht geht dir dann ein Licht auf.
13.02.2018, 16:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dank Teleskopsummenstruktur ist es hier besonders einfach. Grundsätzlich kann man für Reihen der Struktur $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} P(k)\cdot q^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|q\|<1 \end{eqnarray}$ sowie einem Polynom $\begin{eqnarray} P(k) \end{eqnarray}$ aber auch ohne derart erkennbare Teleskopsummenstruktur den Wert berechnen, es ist dann nur etwas mühsamer. Dazu nutzt man $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \binom{k+n}{n} \cdot q^k = \frac{1}{(1-q)^{n+1}}\qquad () \end{eqnarray}$ (einfach zu beweisen per VI). Da die Polynome $\begin{eqnarray} \binom{k}{0},\binom{k+1}{1},\binom{k+2}{2},\ldots \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}[k] \end{eqnarray}$ bilden, kann man jedes Polynom $\begin{eqnarray} P(k) \end{eqnarray}$ als Linearkombination dieser Basispolynome darstellen und damit über () dann den Reihenwert zusammenstückeln.

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