Frage zu einem Extremalproblem

13.02.2018, 17:50

Saturnight

Frage zu einem Extremalproblem

Meine Frage:
Hallo zusammen! (:
Ich habe gerade folgende Aufgabe schon größtenteils gelöst:
Eine Firma stellt oben offene Regentonnen her, wobei diese ein maximales Volumen bei geringen Materialverbrauch besitzen sollten.

a) Wie sind die Abmessungen bei 2m^2 zu wählen?

b) Lösen Sie die Aufgabe allgemein!

Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} V = \pi r^{2} h \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} 2m^{s} = 2\pi rh+\pi r^{2} \end{eqnarray*}$

Als Ergebnisse habe ich nun r=0,46m und h=0,46m.

Bei b) habe ich nun die 2m^2 weggelassen und habe so $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{\frac{A}{3\pi } } \end{eqnarray*}$ bekommen. Jetzt meine eigentliche Frage: Wenn ich das in die Formel für h einsetze bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{A-\pi\cdot \left(\sqrt{\frac{A}{3\pi } } \right)^{2} }{2\pi \cdot \sqrt{\frac{A}{3\pi } } } \end{eqnarray*}$ , was ziemlich krass ist. Wie vereinfache ich das?
Danke im Voraus.

Meine Ideen:
Meine Idee wäre eventuell den einen Bruch in zwei umzuformen, um so die beiden Wurzeln streichen zu können.

13.02.2018, 18:07

Steffen Bühler

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RE: Frage zu einem Extremalproblem
Verwende $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt x \right)^2=|x| \end{eqnarray*}$ , vereinfache den Zähler und kürze.

Viele Grüße
Steffen

13.02.2018, 18:09

Saturnight

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RE: Frage zu einem Extremalproblem
Mir fällt gerade auf, dass ich es ausversehen in die Formel eingesetzt habe, welche noch nich tvereinfacht war. In der vereinfachten Formel sähe es so aus: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi \sqrt{\frac{A}{3\pi } } } - \frac{\sqrt{\frac{A}{3\pi } } }{2} \end{eqnarray*}$ .

13.02.2018, 18:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Verwende $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt x \right)^2=|x| \end{eqnarray*}$

Man kann auch einfach $\begin{eqnarray*} \left( \sqrt x \right)^2=x \end{eqnarray*}$ sagen, denn aus Definitionsgründen ist es im Reellen eh nur für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ anwendbar.

13.02.2018, 18:33

Saturnight

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Wie seid ihr jetzt auf diesen Wert gekommen? Und woher kommt das x?

13.02.2018, 19:53

Steffen Bühler

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RE: Frage zu einem Extremalproblem
Statt x kannst Du auch y, z oder Karl-Eduard verwenden. Es geht nur darum, dass das Quadrat der Wurzel von irgendwas eben wieder dieses irgendwas ergibt, es ist ja die Umkehrfunktion.

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{A-\pi\cdot \left(\sqrt{\frac{A}{3\pi } } \right)^{2} }{2\pi \cdot \sqrt{\frac{A}{3\pi } } }=\frac{A-\pi\cdot {\frac{A}{3\pi } } }{2\pi \cdot \sqrt{\frac{A}{3\pi } } } = \dots \end{eqnarray*}$

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