DGL-System drüberschauen

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Güntherr Auf diesen Beitrag antworten »
DGL-System drüberschauen
Hallo,

habe hier 'ne alte Aufgabe zu einem DGL-System, das gelöst werden sollte. Habe nur die Hälfte der Punktzahl bekommen, wäre super wenn einer mir den Fehler zeigen könnte (der Korrektor war anscheinend zu faul).

Hier die Aufgabe:








2 ist also dreifache NST.
Das Gleichungssystem für den/die Eigenwerte lautet:





x_3 ist frei wählbar da überall Null. Dann habe ich als Eigenvektoren :


Für das Fundamentalsystem gilt :

So und dann mal als Menge aufgeschrieben:

Fundamentalsys:

Ist hier irgendwas unvollständig oder sogar falsch ? Ich tippe eher auf unvollständig, weil bei falschen Werten hätte der Korrektor ja wenigstens etwas unterstrichen. Zu bestimmen war nur das Fundamentalsystem.

Ich bedanke mich für jede Hilfe !
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Güntherr,

bei einer DGL 3. Ordnung bzw. äquivalent: bei einem DGL-System mit einer 3x3-Matrix sollte sich immer ein dreielementiges Fundamentalsystem ergeben. Du liegst daher richtig mit deiner Vermutung, dass das ganze unvollständig ist.

Ein möglicher Weg zu einem vollständigen Fundamentalsystem wäre, das Matrixexponential e^(At) zu berechnen (die Spalten dieser Matrix bilden dann gerade ein Fundamentalsystem). Habt ihr das gehabt?

Falls nein, probiere doch mal Folgendes: (A sei die Matrix aus der Aufgabe)
(beachte mein edit weiter unten)

- Bestimme einen erweiterten Eigenvektor zum Eigenwert 2, also ein , das kein Eigenvektor von A ist. (D.h. konkret: bei A auf der Diagonalen überall 2 abziehen, dann quadrieren, gleich Null setzen und einen passenden Vektor aus der Lösungsmenge aussuchen).

- Versuche dann einen Ansatz der Form .

So müsstest du eine dritte linear unabhängige Lösung finden können.

LG
sibelius84

edit: Sorry, ich habe hier zwei mögliche Vorgehensweisen miteinander vermischt.
Möglichkeit 1 wäre ein Ansatz ; dabei müssen aber a und b Vektoren sein.
Möglichkeit 2 ist die folgende: Bestimme ein w wie oben. Dann ist v:=(A-2E_3)w ein Eigenvektor von A, und ist eine dritte linear unabhängige Lösung, wie du leicht allgemein nachprüfen kannst.
Güntherr Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo sibelius,

danke für die Antwort ! Leider haben wir nichts in der Form gehabt.

Gibt es nicht eine andere Möglichkeit an den dritten unabhängigen Eigenvektor zu kommen ? Evtl. aus meinem Gleichungssystem ?

Falls nicht, versuche ich es mit deiner Methode. Würde aber vorher noch gerne wissen ob es mit den mir bekannten Methoden klappt ehe ich Dinge anwende die über unseren Vorlesungsinhalt hinaus gehen oder nicht gewollt sind etc.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Merkwürdig, dass ihr dazu nichts gehabt habt. Direkt aus deinem LGS heraus geht es leider nicht, denn das hat nun mal die von dir angegebenen Basislösungen und keine darüber hinaus.
Das ganze geht aber analog zu folgendem Sachverhalt: Betrachte die skalare DGL mit konstanten Koeffizienten . Das charakteristische Polynom hat die doppelte Nullstelle 2. Damit lautet ein mögliches Fundamentalsystem: . Also macht es durchaus Sinn in deinem Fall z.B. mal zu probieren, ob denn nicht vielleicht eine weitere Lösung ist (also eben eine deiner beiden gefundenen Basislösungen, mit einem t anmultipliziert).
Nun, wenn man das ausprobiert, sieht man:

, und

.

Jetzt muss man nur noch mit den beiden bekannten Lösungen etwas rumbasteln, damit der störende Teil noch verschwindet, und schon hat man sich eine dritte Basislösung gebastelt.
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