Wert einer Summe berechnen

13.02.2018, 23:41	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Wert einer Summe berechnen Hallo Zusammen, ich habe versucht den Wert einer Summe zu berechnen und finde meinen Fehler nicht. Das Ergebnis sollte laut WolframAlpha $\begin{eqnarray} \approx 3.44 \end{eqnarray}$ sein. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{9} k \cdot \log_{10}(\frac{k+1}{k}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{k=1}^{9} k \cdot \log_{10}(k+1) - \sum\limits_{k=1}^{9} k \cdot \log_{10}(k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sum\limits_{k=2}^{10} k \cdot \log_{10}(k) - \sum\limits_{k=1}^{9} k \cdot \log_{10}(k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -1 \cdot \log_{10}(1) + 10 \cdot \log_{10}(10) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 10 \cdot \log_{10}(10) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 10 \end{eqnarray}$ Danke schonmal
13.02.2018, 23:48	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo cmplx96, schade, dass dein Ergebnis falsch ist, es ist doch viel schöner Bei dem Schritt von der zweiten auf die dritte Zeile müsste aus dem "k" beim Shiften der Summe ein "k-1" werden (Klammer nicht vergessen!). LG sibelius84
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13.02.2018, 23:51	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo sibelius84, vielen Dank für die Hilfe! Ja, das ist schade, jetzt funktioniert der Trick nicht mehr :/ Naja, schön, dass es WolframAlpha gibt.
14.02.2018, 09:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig geshiftet (siehe Anmerkung sibelius) lautet das Ergebnis dann $\begin{eqnarray} 9-\log_{10}(9!) \end{eqnarray}$ .
14.02.2018, 17:54	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, wie bist du zu dieser geschlossenen Form gekommen?
14.02.2018, 21:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na mit der von sibelius genannten Korrektur (ich verwende mal die übliche Symbolik $\begin{eqnarray} \lg \end{eqnarray}$ für den dekadischen Logarithmus): $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^9 k\lg\left( \frac{k+1}{k} \right) &=& \sum_{k=1}^9 k\lg(k+1) - \sum_{k=1}^9 k\lg(k) = \sum_{k=2}^{10} (k-1)\lg(k) - \sum_{k=1}^9 k\lg(k)\\ &=& 9\lg(10) + \sum_{k=1}^9 ((k-1)-k)\lg(k) = 9 - \sum_{k=1}^9 \lg(k) = 9 - \lg\left(\prod_{k=1}^9 k\right) = 9-\lg(9!) \end{eqnarray}$
14.02.2018, 22:22	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dankeschön!

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