Differentialgleichungen

14.02.2018, 18:13	DOKTORDIVERGENZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen Meine Frage: Hallo liebes Forum. Ich habe folgende Aufgaben gegeben: 1) $\begin{eqnarray} y'-x\cdot y(x)^{2}=0 \end{eqnarray}$ mit y(0)=1 2) $\begin{eqnarray} y'-\frac{y(x)^{2} }{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \end{eqnarray}$ mit y(0)=1 Meine Ideen: Folgende Lösungsvorschläge besitze ich nach einigen Rechnungen: 1) $\begin{eqnarray} y'= x\cdot y(x)^{2} = \frac{dy}{dx}=x\cdot y(x)^{2}<br /> \Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{y^{2} } \, dy=\int_{}^{} \! x \, dx \Rightarrow ln\|y^{2}\|=\frac{1}{2}x^{2}+c = y^{2}=ce^{\frac{1}{2} x^{2}} \Rightarrow y= \sqrt{ce^{\frac{1}{2}x^{2}}} \end{eqnarray}$ NACH AB y(0)=1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow y= \sqrt{e^{\frac{1}{2}x^{2}}} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} y'= \frac{y(x)^{2} }{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} <br /> <br /> \Rightarrow \frac{1}{y^{2}}dy=\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{y^{2}} \, dy= \int_{}^{} \! \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\, dx <br /> \Rightarrow ln\|y^{2}\|=ln\|\sqrt{a^{2}-x^{2}} + c<br /> <br /> \Rightarrow y^{2}=\sqrt{a^{2}-x^{2}} + c \end{eqnarray}$ hier komme ich dann leider nicht mehr weiter... stimmt das denn bis dahin überhaupt grob? LG
14.02.2018, 18:26	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{f(x)} \end{eqnarray}$ ist bei dir also $\begin{eqnarray} \ln\|f(x)\| \end{eqnarray}$ , unabhängig davon, welche Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist? Du kannst ja mal $\begin{eqnarray} \ln(y^2) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ableiten und schauen, ob $\begin{eqnarray} \frac{1}{y^2} \end{eqnarray}$ rauskommt.
14.02.2018, 18:32	DOKTORDIVERGENZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Es muss natürlich $\begin{eqnarray} - \frac{1}{y} \end{eqnarray}$ lauten.
14.02.2018, 18:39	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig; damit musst du bei 1) nochmal rechnen, dein Ergebnis stimmt nicht. Und bei 2) brauchst du auch noch eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \end{eqnarray}$ . Dazu substituiere $\begin{eqnarray} x=a\cdot \sin(u) \end{eqnarray}$ .

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