Varianz der Gleichverteilung mittels charakter. Funktion berechnen

14.02.2018, 23:23

Namenloser324

Varianz der Gleichverteilung mittels charakter. Funktion berechnen

Hallo, ich würde gerne als Übung die Varianz der/einer Gleichverteilung mittels ihrer charakteristischen Funktion bestimmen.

Sei die Wahrscheinlichkeitsdichte $\begin{eqnarray*} p(x) = 1, |x| \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und sonst Null gegeben die zur Zufallsvariablen X gehöre.

Die charakteristische Funktion dieser Wahrscheinlichkeitsdichte ist gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \phi_X (t) = \frac{sin(t/2)}{t/2} \end{eqnarray*}$ . Diese sollte korrekt sein, da ich sie mit anderen Quellen verglichen habe.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \phi_X''(0) = -E(X^2) \end{eqnarray*}$ , d.h. die zweite Ableitung der charakteristischen Funktion (nach t) an der Stelle t = 0 entspricht dem negativen der Varianz (bei Erwartungswertfreiheit).

Ich erhalte mit obiger charak. Funktion jedoch als Ableitung

$\begin{eqnarray*} \phi_X''(t) = 2*(sin(t/2)(2t^{-3} - 0.25 t^{-1}) - cos(t/2)(0.5 t^{-2} + 0.5 t^{-2})) \end{eqnarray*}$ .
Ich habe jetzt den Wert an der Stelle Null durch den Grenzwert von t gegen Null bestimmt/definiert.

Ich erhalte jedoch $\begin{eqnarray*} \phi_X''(t) = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , d.h. als Varianz 1/4. Das ist bekanntlicherweise falsch, da die Varianz 1/12 ergeben müsste.

Leite ich tatsächlich falsch ab? Oder wo liegt mein Fehler?

Vielen Dank für jede Hilfe!

15.02.2018, 02:38

Guppi12

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Hallo, soweit ich erkennen kann, stimmt deine Ableitung, du musst also einen Fehler bei der Grenzwertberechnung gemacht haben.

Viel einfacher ist es aber, die Potenzreihe von sin(t)/t einfach hinzuschreiben, da kannst du die 2. Ableitung direkt ablesen. Die teilst du dann noch durch 4 und bist fertig.

15.02.2018, 12:44

HAL 9000

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RE: Varianz der Gleichverteilung mittels charakter. Funktion berechnen

Zitat:

Original von Namenloser324
$\begin{eqnarray*} \phi_X''(t) = 2*(sin(t/2)(2t^{-3} - 0.25 t^{-1}) - cos(t/2)(0.5 t^{-2} + 0.5 t^{-2})) \end{eqnarray*}$ .

Hinten beim Kosinusterm fehlt ein Faktor 2, d.h., richtig ist

$\begin{eqnarray*} \phi_X''(t) = \sin\left(\frac{t}{2}\right)\left( \frac{4}{t^3}-\frac{1}{2t}\right) - \cos\left(\frac{t}{2}\right) \frac{{\color{red}2}}{t^2} = \frac{1}{2t^3}\left[ (8-t^2)\sin\left(\frac{t}{2}\right) - 4t\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right] \end{eqnarray*}$ .

Die Grenzwertbildung $\begin{eqnarray*} t\to 0 \end{eqnarray*}$ etwa per mehrfachem L'Hospital ist wirklich nervtötend, d.h., auch ich würde die angesprochene Reihenvariante klar vorziehen.

15.02.2018, 17:05

Guppi12

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Die 2 steht ganz am Anfang. Die erste Klammer bezieht sich auf alles.

15.02.2018, 17:18

HAL 9000

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Huch, richtig. Hatte ich irgendwie anders gelesen, danke.

18.02.2018, 22:41

Namenloser324

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Hey, danke für eure Antworten!

Per Reihenentwicklung ist es trivial! Aber ich würde gerne meinen Fehler bei der vorgestellten Herangehensweise verstehen:

Ich habe sin(t/2) mit t/2 (nahe t = 0) genähert und entsprechend cos(t/2) durch 1.
Es kürzen sich dann alle t's weg und ich erhalte mein Ergebnis. Offenbar ist das illegitim. Dabei müsste sich die Gesamtfunktion doch nahe Null genauso verhalten.

Wieso ist das falsch?

Vielen Dank smile

19.02.2018, 09:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Namenloser324
Ich habe sin(t/2) mit t/2 (nahe t = 0) genähert und entsprechend cos(t/2) durch 1.

Ok, dann rechnen wir mal mit dieser Näherung

$\begin{eqnarray*} \phi_X''(t) = \frac{1}{2t^3}\left[ (8-t^2)\sin\left(\frac{t}{2}\right) - 4t\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right] = \frac{1}{2t^3}\left[ (8-t^2)\left( \frac{t}{2} + O(t^3)\right) - 4t\left(1 + O(t^2)\right)\right] = \frac{1}{2t^3}\left[ 4t + O(t^3) - 4t - O(t^3)\right] = O(1) \end{eqnarray*}$

Das sagt lediglich aus, dass für $\begin{eqnarray*} t\to 0 \end{eqnarray*}$ der Term beschränkt bleibt, d.h., nicht mal dass er konvergiert, geschweige denn gegen einen bestimmten Wert. unglücklich

Deine Näherungen sind schlicht unzureichend, du musst wenigstens mit

$\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{t}{2}\right) = \frac{t}{2}-\frac{t^3}{48}+O(t^5),\; \cos\left(\frac{t}{2}\right) = 1-\frac{t^2}{8}+O(t^4) \end{eqnarray*}$

arbeiten, um den Grenzwert ausrechnen zu können - das $\begin{eqnarray*} t^3 \end{eqnarray*}$ im Nenner der Funktion verlangt es so!

19.02.2018, 21:13

Namenloser324

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Alles klar, vielen Dank!

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